Dado $f \in \mathbb{Z}[X]$ $2\deg(f)+1$ diferentes $a_i \in \mathbb{Z}$ tal que $f(a_i)$ son números primos. A continuación, $f$ es irreductible.
Estoy tratando de probar que y estoy atascado. Consejos para un buen punto de partida?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia: Suponga $f=gh$ fueron una factorización donde $g,h\in\mathbb{Z}[x]$ no son unidades (es decir, no es igual a $\pm1$).
Debido a $f(a_i)=g(a_i)h(a_i)$ es un número primo para cada una de las $i$, debemos tener bien $g(a_i)=\pm1$ o $h(a_i)=\pm1$ por cada $i$ (los signos pueden ser diferentes para diferentes $i$).
Otra referencia (ratón para mostrar):
Deje $n=2\deg(f)+1$. WLOG, supongamos $a_1,\ldots,a_k$ $a_i$ tal que $g(a_i)=\pm1$, e $a_{k+1},\ldots,a_n$ $a_i$ tal que $h(a_i)=\pm1$. Desde $$2\deg(f)+1=2\deg(g)+2\deg(h)+1=n,$$ we have $$(2\deg(g)-k)+(2\deg(h)-(n-k))=-1$$ so that either $2\deg(g)< k$ or $2\deg(h)< n-k$.
