¿Cuál es la imagen de $\zeta_3$ en virtud de la no-identidad de la incrustación de $\mathbb{Q}(\zeta_3)$$\mathbb{C}$?
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Si $\zeta_3$ es una primitiva raíz cúbica de a $1$, entonces su imagen bajo la no-identidad de la incrustación es $\zeta_3^{-1}$.
De hecho, no es un endomorfismo $\sigma:\mathbb Q(\zeta_3^{-1})\to\mathbb Q(\zeta_3^{-1})$ tal que $\sigma(\zeta_3)=\zeta_3^{-1}$, lo que en realidad genera el grupo de Galois del campo en $\mathbb Q$. La no-trivial de la inclusión es la composición de $\sigma$ con el trivial de la incrustación.
Rob Lachlan
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Si se define una extensión algebraica de $\Bbb Q$ $K={\Bbb Q}[x]/(f(x))$ donde $f(x)$ es un polinomio irreducible de grado $d$, se puede obtener el $d$ incrustaciones de $K$ mediante el envío de $x\mapsto\alpha$ donde $\alpha$ es un complejo de raíz de $f(x)$ (que siempre existe, gracias a Gauss).
En el caso de ${\Bbb Q}(\zeta_3)$, esto es sólo ${\Bbb Q}[x]/(x^2-x+1)$ porque $x^2-x+1$ es la cuadrático irreducible factor de $x^3-1$. Por lo tanto usted obtener dos complejos de incrustaciones de envío $$ x=\zeta_3\mapsto\alpha^\pm=\frac12(1\pm\sqrt{-3}). $$ Si usted decide identificar a $\zeta_3=\alpha^{+}=(1+\sqrt{-3})/2$, un momento de pensamiento (en la forma de un corto de cómputo) va a convencer de que los "otros" de la raíz, es decir, la otra incorporación, $\alpha^{-}$ es sólo $\zeta_3^2$. Cuenta que las dos raíces (y así las dos incrustaciones) se activa por el complejo de la conjugación.
Las identidades $\zeta_3^2=\overline{\zeta}_3=\zeta_3^{-1}$ también son evidentes al observar que $1$, $\alpha^{+}$ y $\alpha^{-}$ son las tres raíces complejas de $x^3-1$, por lo que su producto debe ser $1$.
Adrián respuesta da la generalización de la $p$-th cyclotomic campo
Arcturus
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Si usted tiene un cyclotomic campo $K = \mathbb{Q}(\zeta)$ donde $\zeta := e^{2 \pi i /p}$ $p$ un número primo impar, entonces puede ser fácilmente visto que su $p-1$ incrustaciones en $\mathbb{C}$ se dan por $\sigma _i : K \hookrightarrow \mathbb{C}$$\sigma _i (\zeta) = \zeta ^{i}$$1 \leq i \leq p-1$. Esto es sólo una consecuencia del hecho de que el polinomio mínimo de a $\zeta$ $\mathbb{Q}$ $$f(t) = \frac{t^p - 1}{t - 1} = t^{p-1} + t^{p-2} + \cdots + t + 1$$
y $f(t)$ factores $$f(t) = (t - \zeta)(t - \zeta ^{2}) \cdots (t - \zeta ^{p-1})$$
Así que en general la imagen de $\zeta$ bajo el no trivial incrustaciones de $K$ serán las potencias $\zeta \mapsto \zeta^{i}$$2 \leq i \leq p-1$, que en el caso de $p = 3$ solo corresponden a $\zeta_{3} \mapsto \zeta_{3}^{2}$, pero en este caso $\zeta_{3}^{2} = \zeta_{3}^{-1}$ como en el de Mariano respuesta.
Y la pregunta que usted plantea en su comentario a Mariano de la respuesta, sí, si $a + b \zeta_{3} \in \mathbb{Z}[\zeta_{3}]$$\sigma_{2}(a + b \zeta_{3}) = a + b \zeta_{3}^{2} = a + b \zeta_{3}^{-1}$.
