¿Por qué mi álgebra pruebas parecen como "magia"? Se relaciona con la categoría de la teoría?

Question

$\newcommand{Ab}{\operatorname{Ab}} \newcommand{Id}{\operatorname{Id}}$Soy auto-estudio de Introducción a la Topológico de Colectores por John M. Lee, que incluye un par de ejercicios como este:

9-4(b) Deje $S_1$ $S_2$ ser distintos conjuntos, y deje $R_i$ ser un subconjunto de la libre grupo de $F(S_i)$$i=1,2$. Demostrar que $\langle S_1 \cup S_2 \mid R_1 \cup R_2 \rangle$ es una presentación de la libre grupo de producto $\langle S_1 \mid R_1 \rangle * \langle S_2 \mid R_2 \rangle$.

10-17. Para los grupos de $G_1$$G_2$, muestran que $\Ab(G_1*G_2) \cong \Ab(G_1) \oplus \Ab(G_2)$.

10-19. Para cualquier conjunto a $S$, muestran que la abelianization de la libre grupo de $F(S)$ es isomorfo a la libre grupo abelian $\mathbb{Z}S$.

($*$ es producto gratis, $\Ab$ es abelianization.) Aquí está mi tedioso prueba de 10-17:

Para $i=1,2$, vamos \begin{align*} \alpha_{i}:G_{i} & \to\Ab(G_{i}),\\ \alpha:G_{1}*G_{2} & \to\Ab(G_{1}*G_{2}),\\ j_{i}:\Ab(G_{i}) & \to\Ab(G_{1})\oplus\Ab(G_{2}),\\ k_{i}:G_{i} & \to G_{1}*G_{2} \end{align*} ser la canónica de mapas. Existe un homomorphism $\ell:G_{1}*G_{2}\to\Ab(G_{1})\oplus\Ab(G_{2})$ la satisfacción de $\ell\circ k_{i}=j_{i}\circ\alpha_{i}$, y existe un homomorphism $\varphi:\Ab(G_{1}*G_{2})\to\Ab(G_{1})\oplus\Ab(G_{2})$ la satisfacción de $\varphi\circ\alpha=\ell$. También, existen homomorphisms $m_{i}:\Ab(G_{i})\to\Ab(G_{1}*G_{2})$ satisfacción $m_{i}\circ\alpha_{i}=\alpha\circ k_{i}$, de modo que existe un homomorphism $\psi:\Ab(G_{1})\oplus\Ab(G_{2})\to\Ab(G_{1}*G_{2})$ la satisfacción de $\psi\circ j_{i}=m_{i}$. Ahora $$ \varphi\circ\psi\circ j_{i}\circ\alpha_{i}=\varphi\circ m_{i}\circ\alpha_{i}=\varphi\circ\alpha\circ k_{i}=\ell\circ k_{i}=j_{i}\circ\alpha_{i}, $$ por lo $\varphi\circ\psi=\Id_{\Ab(G_{1})\oplus\Ab(G_{2})}$ por la singularidad. Del mismo modo, $$ \psi\circ\varphi\circ\alpha\circ k_{i}=\psi\circ\ell\circ k_{i}=\psi\circ j_{i}\circ\alpha_{i}=m_{i}\circ\alpha_{i}=\alpha\circ k_{i}, $$ por lo $\psi\circ\varphi=\Id_{\Ab(G_{1}*G_{2})}$ por la singularidad.

Este es sólo un ejemplo - hay muchas otras pruebas que parecen seguir el mismo patrón de uso de las propiedades universales para derivar homomorphisms, componer un montón de ellos juntos, simplificar, y demostrar que tiene isomorphisms. Mis preguntas son:

1. Hay un nombre para este tipo de prueba?
2. ¿Cómo puedo entender lo que estoy haciendo? Me siento como si me estuviera moviendo símbolos de todo ahora, que la coincidencia de dominios/codomains.
3. Estas pruebas se realizan con menos tedioso?
4. La razón por la que digo estas pruebas son como "magia" es que todo parece encajar perfectamente cuando estoy componiendo los mapas. ¿Por qué sucede esto?

Answer 1

Impresionante pregunta. La respuesta a todo lo que es 'sí'. Elaborar:

Como se vio, el punto clave en todos estos ejercicios es que las cosas satisfacer propiedades universales, y estas propiedades universales darle canónica de mapas cuando los necesite. Otro punto clave (que sin duda ya dado cuenta) es que un universal de la propiedad caracteriza a un objeto a isomorfismo. Por lo tanto un poco más alto nivel de explicación para el ejercicio se demostró anteriormente, $\mathrm{Ab}(G_1) \oplus (G_2)$ cumple la característica universal de la caracterización de los abelianization de $G_1 * G_2$.

Usted podría llamar una prueba de un "pruebas categóricas' o 'prueba universal de los bienes"; cuando estás escribiendo mapas y composiciones como en el anterior, el término 'diagrama de persecución' también se utiliza con frecuencia. La ventaja de este tipo de pruebas es que muchas veces, pueden ser transportados por no tocar totalmente diferente configuración.

Categoría de la teoría es esencialmente la ciencia de hacer esto, y suena como que usted está en el punto ideal para empezar a aprender. Normalmente cuando aprendemos acerca de los grupos, anillos, espacios topológicos, etc., pensamos en ellos como conjuntos de elementos con ciertas estructuras o de las operaciones asociadas. Categoría de la teoría subvierte esta por lanzar una cortina sobre este interior de la maquinaria y el fraseo todo en términos de los mapas que conservar esta estructura (grupo homomorphisms, anillo homomorphisms, funciones continuas de espacios topológicos, etc.). Usted probablemente ha notado en la prueba anterior que no tenía necesidad de mencionar los elementos de los grupos involucrados en todo, sólo se necesita para estudiar la composición de los diversos homomorphisms entre ellos. Esta es la base del pensamiento categórico. En particular, el concepto de una "característica universal" tiene un bonito elemento descripción libre en la categoría de teoría.

Para dar un ejemplo de lo bonito que esta puede conseguir, usando palabras que no sabemos aún, un mayor nivel de explicación del ejercicio demostró sería que el producto libre de grupos y la suma directa de abelian grupos son a la vez 'co-productos' en sus respectivas categorías y la abelianization functor es una 'izquierda adjunto", que necesariamente conserva co-productos. Una vez que se practica con esta forma de pensar, usted será capaz de ver las relaciones como esta facilidad, lo que va a hacer pruebas como la de arriba, tanto más conceptual y menos tedioso!

Una palabra de advertencia: es tentador (al menos, lo fue para mí) cuando tú eres el primero que el aprendizaje de esta materia para pensar que lo abarca todo de matemáticas, y doblemente a frustrarse con áreas de matemáticas, que no se dobla tan fácilmente para el pensamiento categórico. No importa lo bueno que en él se obtiene, siempre vas a tener que lidiar con el ocasional no functorial construcción o interior goo estilo de razonamiento; en algunas áreas de las matemáticas, en particular en su parte analítica, de la categoría de teoría es de muy limitada utilidad (aunque eso no impide que la categorists de intentar "explicar" estas áreas también!) Esto sin duda va a cambiar la manera de pensar acerca de un montón de cosas familiares, aunque, por lo que si usted es de la mentalidad adecuada para ello, debe sumergirse en el derecho.

Comenzar por el aprendizaje de lo que adjunto functors son y jugando con un montón de ejemplos. Yo soy parcial a las Categorías para el Trabajo Matemático por Mac Lane, lo que supone únicamente un poco de experiencia con el álgebra, pero hay algunas otras buenas sugerencias en matemáticas.SE subproceso.