Como la pregunta sugiere su título, ¿por qué no hay finitely aditivo medidas en $\ell_\infty$ para que la medida de cada bola es positivo y finito? Aquí, no hay que asumir que la medida es la traducción invariante.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Argumentando por contradicción, supongamos que una medida de esa índole, decir $\nu$, no existe. La idea principal es que podemos colocar continuum muchas bolas disjuntas, o yo diría más bien, cubos, dentro de una bola. Por lo tanto, hay infinitamente muchos de ellos que tienen medida mayor que la constante de $\epsilon > 0$.
Nos deja denotar por $B_r(x)$ a un balón en $\ell_\infty$ centro $x = (x_i)_{i = 1}^\infty$ y radio de $r > 0$. Que es,$$B_r(x) = \{y \in \ell_\infty : \|y - x\|_\infty \le r\} = \left\{y = (y_i) : \sup_{i \in \mathbb{N}} |y_i - x_i| \le r\right\}.$$Denote$$Y \subset \ell_\infty, \quad Y := \{y \in \ell_\infty : y_i \in \{-2, 2\}, \text{ }i = 1,\,2, \ldots\}.$$Consider the balls $B_1(y)$, $s \in S$. Clearly,$$B_1(y_1) \cap B_1(y_2) = \emptyset \text{ for all }y_1,\,y_2 \in Y,\,y_1 \neq y_2.$$Thus, we have a family $B_1(y)$, $s \in S$ with continuum many disjoint balls, all of them inside $B_3(0)$. Hence, there exists an infinite, in fact with cardinality continuum, set $S' \subconjunto S$, such that $\nu(B_1(y)) > \epsilon$, for all $s \in S'$, for some $\epsilon > 0$.
Esto significa que para cualquier $n \in \mathbb{N}$ y $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n \in Y'$, tenemos$$\nu(B_3(0)) > \nu\left(\bigcup_{i = 1}^n B_1(y_i)\right) > n\epsilon,$$, que es una contradicción.
