Si $a,b,c>0$ $a+b+c=1$ demostrar la desigualdad: $\frac a{b^2 +c} + \frac b{c^2+a} + \frac c{a^2+b} \ge \frac 94$

Question

Si $a,b,c>0$ $a+b+c=1$ demostrar la desigualdad: $$\frac a{b^2 +c} + \frac b{c^2+a} + \frac c{a^2+b} \ge \frac 94$$

Answer 1

desde $$\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c^2}=\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{ab+ac^2}$$ El uso de Cauchy-Schwarz desigualdad,tenemos $$\left(\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{ab+ac^2}\right)\cdot\sum_{cyc}(ab+ac^2)\ge\left(\sum_{cyc}a\right)^2=1$$ por lo tanto, sólo demostrar la siguiente desigualdad $$\dfrac{1}{\sum_{cyc}(ab+ac^2)}\ge\dfrac{9}{4}$$ $$\Longleftrightarrow 4\ge9\sum_{cyc}ab+9\sum_{cyc}ac^2$$ $$\Longleftrightarrow 4(\sum_{cyc}a)^2\ge 9\sum_{cyc}ab+9\sum_{cyc}ac^2$$ $$\Longleftrightarrow 4\sum_{cyc}a^2\ge \sum_{cyc}ab+9\sum_{cyc}ac^2$$ desde $$\sum_{cyc}a^2\ge \sum_{cyc}ab$$ por lo tanto, sólo probar este $$3\sum_{cyc}a^2\ge 9\sum_{cyc}ac^2$$ $$\Longleftrightarrow \sum_{cyc}a^2\ge3\sum_{cyc}ac^2$$ $$\Longleftrightarrow \sum_{cyc}a\cdot\sum_{cyc}a^2\ge3\sum_{cyc}ac^2$$ $$\Longleftrightarrow \sum_{cyc}a^3+\sum_{cyc}ab^2\ge 2\sum_{cyc}ac^2$$ ya que el Uso de AM-GM de la desigualdad $$\sum_{cyc}a^3+\sum_{cyc}ab^2=\sum_{cyc}(a^3+ab^2)\ge\sum_{cyc}(2a^2b)=2\sum_{cyc}ac^2$$ Por hecho!

Answer 2

Respuesta:

Multiplicando el numerador y el denominador, se obtiene

$$LHS = \frac{\sum a^{2}}{\sum (ac+b^{2}a)}$$ La aplicación de la de Cauchy-Schwarz desigualdad en los siguientes pasos

\begin{align} &\geqslant\frac{(\sum a)^{2}}{\sum ac + \sum b^{2}a}\\ &\geqslant \frac{1}{\sum ac + \frac{1}{3}\sum a \sum a^2} = \frac{1}{3\sum ac +\sum a (\sum a)^2}\\ &\geqslant \frac{3}{\sum ac + (\sum a)^{2}} \end{align}

Aplicando la desigualdad de $$\sum ac \leqslant \frac{1}{3} (\sum a)^{2}$$

$$LHS \geqslant \frac{9}{4}$$

Edit: @9rm, Aplicar el Cauchy-Schwarz inequlality a $$\sum b^{2}a \leqslant (\sum b^4)^\frac{1}{2}\cdot (\sum a^2)^\frac{1}{2}.$$ This will reduce to $$\leqslant (abc)^\frac{1}{2}\cdot \sum a\cdot \sqrt{\frac{1}{3}}({\sum a})^{2}.$$ This will further reduce to $$\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot \sum a\cdot \sqrt{\frac{1}{3}}\cdot {\sum a}^{2} = \frac{1}{3}\cdot \sum a(\sum a)^{2}.$$