Se supondrá que todos los anillos son conmutativos con la unidad.
Lema 1 Dejemos que $A$ sea un anillo, $M, N$ $A$ -módulos. Supongamos que $N$ es plana sobre $A$ . Dejemos que $a$ sea un elemento de $A$ . Supongamos que el mapa $f\colon M \rightarrow M$ definido por $f(x) = ax$ es inyectiva. Entonces el mapa $g\colon M\otimes_A N \rightarrow M\otimes_A N$ definido por $g(z) = az$ también es inyectiva.
Prueba de ello: Sea $1_M\colon M \rightarrow M$ sea el mapa de identidad. Dado que $ax\otimes y = a(x\otimes y)$ para $x \in M, y \in N$ , $g = f\otimes 1_M$ . Por lo tanto, $g$ es inyectiva.
Lema 2 Dejemos que $A$ sea un anillo, $N$ un $A$ -módulo. Sea $(M_i)_{i\in I}$ a sistema directo de $A$ -módulos. Entonces colim $_i (M_i\otimes_A N) =$ (colim $_i M_i)\otimes_A N$ .
Prueba de ello: Esto es bien conocido. Véase, por ejemplo, Matsumura's Commutative Ring Theory, Appendix A1.
Nota: El lema 2 se puede demostrar utilizando la teoría de categorías de la siguiente manera. $-\otimes_A N$ es un functor adjunto a la izquierda de Hom $_A(N, -$ ) (véase mi respuesta a esta pregunta ). Por tanto, conmuta con colim (véase MacLane: Categories for the working mathematician, capítulo V, sección 5, teorema 1, p.114).
Lema 3 Dejemos que $A$ sea un anillo. Sea $(M_i)_{i\in I} \rightarrow (N_i)_{i\in I}$ y $(N_i)_{i\in I} \rightarrow (L_i)_{i\in I}$ sean mapas de sistemas directos de $A$ -módulos. Supongamos que cada secuencia $M_i \rightarrow N_i \rightarrow L_i$ es exacta. Entonces colim $M_i \rightarrow$ colim $N_i \rightarrow$ colim $L_i$ es exacta.
Esto es bien conocido. Véase, por ejemplo, Matsumura's Commutative Ring Theory, Appendix A2.
Lema 4 Dejemos que $A$ sea un anillo. Sea $(M_i)_{i\in I}$ un sistema directo de piso $A$ -módulos. Entonces colim $M_i$ es plana.
Prueba: Se deduce inmediatamente del lema 2 y del lema 3.
Lema 5 Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano sin torsión. En otras palabras, el orden de cada elemento no nulo de $G$ es infinito. Entonces $G$ es plana. En otras palabras, el functor $-\otimes_{\mathbb{Z}} G$ es exacta.
Prueba de ello: Sea $(G_i)_{i \in I}$ sea la familia de subgrupos finitamente generados de $G$ . Dado que cada $G_i$ es libre de torsión, es libre. Por lo tanto, es plana. Por lo tanto, $G =$ colim $G_i$ es plana por el lema 4.
Propuesta Dejemos que $p, q$ son números primos que pueden o no ser distintos. Sea $A = \mathbb{Q}_p\otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_q$ . Dejemos que $\lambda\colon \mathbb{Z}_p \rightarrow A$ y $\mu\colon \mathbb{Z}_q \rightarrow A$ sean los homomorfismos canónicos de anillo. Sea $B = \mathbb{Z}_p\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_q$ . Sea $\psi\colon B \rightarrow A$ sea el homomorfismo de anillo inducido por $\lambda$ y $\mu$ . Entonces $\psi$ inyectiva.
Prueba de ello: Sea $S = \mathbb{Z} - \{0\}$ . Entonces $S^{-1} (\mathbb{Z}_p \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_q) \cong \mathbb{Q}_p \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_q$ por el lema 3 de mi respuesta a esta pregunta . Desde $\mathbb{Z}_q$ es libre de torsión, es plana por el lema 5. Por tanto, $\mathbb{Z}_p \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_q$ es libre de torsión por el lema 1. Por tanto, $\psi$ inyectiva.
