¿Cómo podemos demostrar que $4\arctan\left({1\over \sqrt{\phi^3}}\right)-\arctan\left({1\over \sqrt{\phi^6-1}}\right)={\pi\over 2}$

Question

$$4\arctan\left({1\over \sqrt{\phi^3}}\right)-\arctan\left({1\over \sqrt{\phi^6-1}}\right)={\pi\over 2}\tag1$$ $\phi$;Cociente de oro

Entiendo que podemos utilizar

$$\arctan{1\over a}+\arctan{1\over b}=\arctan{a+b\over ab-1}$$

que iba a tomar un tiempo bastante largo y la simplificación de expresiones algebraicas con surds es también tarea difícil de realizar.

¿De qué otra manera podemos demostrar que $(1)={\pi\over 2}$?

Answer 1

de acuerdo a "¿de qué otra manera podemos demostrar que"

Tome $f(x)=4\arctan\left({1\over \sqrt{x^3}}\right)-\arctan\left({1\over \sqrt{x^6-1}}\right)$ ahora usted puede mostrar a $f(1.618)=\dfrac{\pi}{2}$

Esta pregunta es muy interesante para mí .Yo estaba trabajando en $\phi $ propiedades como la $\phi^2=\phi+1 \to \phi^3=\phi^2+\phi$ o $\psi=\dfrac{1}{\phi}$

podemos ver esto $4\arctan\left({1\over \sqrt{\phi^3}}\right)-\arctan\left({1\over \sqrt{\phi^6-1}}\right)={\pi\over 2}$ $4a-b=\dfrac{\pi}{2} $ $4a=\dfrac{\pi}{2} +b \to \tan(4a)=-\cot(b)$ (si puedes demostrarlo,probar la primera relación) $$\phi=\dfrac{1+\sqrt5}{2} \\ \phi^3=\phi^2+\phi=(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^2+(\dfrac{1+\sqrt5}{2})=\dfrac{1+5+2\sqrt5+2+2\sqrt5}{4}=\dfrac{8+4\sqrt5}{4}=2+\sqrt5 \a \\ \phi^6-1=(2+\sqrt5)^2-1=4+5+4\sqrt5-1=8+4\sqrt5$$ ahora redude a

$$4\arctan\left({1\over \sqrt{2+\sqrt5}}\right)-\arctan\left({1\over \sqrt{8+4\sqrt5}}\right)=\dfrac{\pi}{2} \4a-b=\dfrac{\pi}{2} \ \tan(4a)= ? -\cuna(b)$$

$$\tan a=\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt5}} \ tan 2a=\dfrac{2\bronceado a}{1-\tan^2a}=\\\frac{2\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt5}}}{1-(\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt5}})^2}=\dfrac{2\sqrt{2+\sqrt5}}{1+\sqrt5} \\ \tan(4a)=\dfrac{2\bronceado 2a}{1-\tan^22a}=\\\dfrac{2\dfrac{2\sqrt{2+\sqrt5}}{1+\sqrt5}}{1-(\dfrac{2\sqrt{2+\sqrt5}}{1+\sqrt5})^2}=\\ \dfrac{4\sqrt{2+\sqrt5}(1+\sqrt5)}{(1+\sqrt5)^2-4(2+\sqrt5)}=\\-2\sqrt{2+\sqrt5}$$ Other side we have $$-\cot b =-(\sqrt{8+4\sqrt5})=-2\sqrt{2+\sqrt5} \checkmark$$

Answer 2

Una detallada y autónoma probar (sin referencia a la publicación anterior) :

Answer 3

SUGERENCIA: Usted puede simplificar mucho su ecuación de trabajo de la identidad $\phi^2=\phi+1$

De hecho

$\phi^3=\phi^2+\phi=2\phi+1$

y

$\phi^6-1=(2\phi+1)^2-1=4\phi^2+4\phi=4\phi^3$

Por lo tanto, su ecuación se convierte en

$ 4\arctan(a)-\arctan(a/2)=\frac{\pi}{2} $

con $a=\frac{1}{\sqrt{\phi^3}}$

El uso de la igualdad en arctan usted siempre debería ser suficiente para encontrar la solución.

Answer 4

El uso de $\phi^m=F_m\cdot\phi+F_{m-1}$ donde $F_n$ $n$el Número Fibonacci.

Como Maczinga,

Como $\phi^{3/2}>1,$ utilizando mostrando el $\arctan(\frac{2}{3}) = \frac{1}{2} \arctan(\frac{12}{5})$

$2\arctan\dfrac1{\phi^{3/2}}=\arctan\dfrac{2\phi^{3/2}}{\phi^3-1}=\arctan(\phi^{1/2})$

De nuevo $\arctan\dfrac1{\sqrt{\phi^6-1}}=\arctan\dfrac1{2\phi^{3/2}}$

Ahora, $\arctan\phi^{1/2}-\arctan\dfrac1{2\phi^{3/2}}=\arctan\dfrac{\phi^{1/2}-\dfrac1{2\phi^{3/2}}}{1+\phi^{1/2}\cdot\dfrac1{2\phi^{3/2}}}$ $=\arctan\dfrac{2\phi^2-1}{\phi^{1/2}\cdot(2\phi+1)}$ $=\arctan\dfrac{2(\phi+1)-1}{\phi^{1/2}(2\phi+1)}$ $=\arctan\dfrac1{\phi^{1/2}}$

Así, nos quedamos con el establecimiento $\arctan(\phi^{1/2})+\arctan\dfrac1{\phi^{1/2}}=\dfrac\pi2$