Dado $P,Q$ con el primer pedido, probar $P \cap Q$ es trivial grupo?

Question

Supongamos $P,Q \leq G$ tanto de primer orden, con $P \neq Q$. Probar que $P \cap Q$ es la trivial grupo.

Creo que Sylow del teorema se aplica aquí, pero me siento como que no hay suficiente información para hacer una declaración acerca de $P$$Q$. Lo que es una buena manera para empezar a mostrar $P \cap Q$ es la trivial grupo?

Answer 1

Sugerencia: $P \cap Q$ es un subgrupo de ambos $P$$Q$, y por lo tanto su orden divide tanto a a$|P|$$|Q|$. Si $|P| \neq |Q|$, ¿qué podemos concluir? Si $|P| = |Q|$, ¿qué podemos concluir de usar $P \neq Q$?