Encontrando $\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+3^p+...+(2n+1)^p}{n^{p+1}}$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Encuentre $$\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+3^p+\ldots+(2n+1)^p}{n^{p+1}}$$

Lo que tengo hasta ahora:

Mi idea es utilizar el teorema de Stolz-Cesaro, que implica que:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1^p+3^p+\ldots+(2n+1)^p}{n^{p+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+3)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}} $$

Desde allí:

$$\frac{(2n+3)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(2n+3)^p}{(2n+1)^{\frac{p+1}{2}}}$$

Por lo tanto, si mis cálculos son correctos sólo tengo que encontrar el límite del término en el RHS en la última línea, eso es a menos que el enfoque es en algún lugar completamente diferente.

Gracias de antemano.

Answer 1

Por las sumas de Riemann, para cualquier $p>-1$ : $$ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{2k+1}{n}\right)^p \xrightarrow{n\to +\infty}\int_{0}^{1}(2x)^p\,dx = \color{red}{\frac{2^p}{p+1}}.$$

Answer 2

Estás en el camino correcto: como $n\to +\infty$ , $$\frac{(2n+3)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{2^pn^p(1+\frac{3}{2n})^p}{n^{p+1}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{p+1}-1\right)}=\frac{2^p(1+o(1))}{n\left(1+\frac{p+1}{n}+o(1/n)-1\right)}\to {\frac{2^p}{p+1}}.$$

Answer 3

SUGERENCIA:

$$\dfrac1n\sum_{r=0}^n\dfrac{(2r+1)^p}{n^p}=\dfrac{(2n+1)^p}{n^{p+1}}+\dfrac1n\sum_{r=1}^n\dfrac{(2r-1)^p}{n^p}$$

Ahora $$\dfrac1n\sum_{r=1}^n\dfrac{(2r-1)^p}{n^p}=\underbrace{\dfrac1n\sum_{r=1}^{2n}\left(\dfrac rn\right)^p}_{(1)}-\underbrace{\dfrac1n\sum_{r=1}^n\left(\dfrac{2r}n\right)^p}_{(2)}$$

Para $(1)$ Ver también : Encuentre $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum\limits^{2n}_{r =1} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}$

Ahora para $(2)$ utilice $$\lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{r=1}^n f\left(\frac rn\right)=\int_0^1f(x)dx$$

Answer 4

Sólo por curiosidad personal.

Para divertirme, he intentado encontrar una aproximación de las sumas parciales $$S_n^{(p)}=\frac{1^p+3^p+\ldots+(2n+1)^p}{n^{p+1}}$$ y encontró el resultado "simple" $$\frac{2^p}{p+1}\left(1+\frac {p+1}n+\frac {11p(p+1)}{24 n^2}+\frac {(p-1)p(p+1) } {8n^3}+\frac{127 (p-2) (p-1) p (p+1)}{5760n^4}+\cdots \right)$$ que no parece tan mala avenida para valores pequeños de $n$ . En la tabla, se da la representación decimal de $S_{10}^{(p)}$ para algunos valores de $p$ . $$\left( \begin{array}{ccc} p & \text{exact} & \text{approximation} \\ 1 & 1.209166667 & 1.210000000 \\ 2 & 1.771000000 & 1.771000000 \\ 3 & 2.916105833 & 2.916100000 \\ 4 & 5.118180000 & 5.118190000 \\ 5 & 9.350900000 & 9.351001000 \\ 6 & 17.55979048 & 17.56040110 \\ 7 & 33.63793333 & 33.64080841 \\ 8 & 65.41276444 & 65.42436878 \\ 9 & 128.6969600 & 128.7391174 \\ 10 & 255.5698424 & 255.7116653 \end{array} \right)$$

Answer 5

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\lim_{n \to \infty}{1^{p} + 3^{p} + \cdots + \pars{2n + 1}^{\,p} \over n^{p + 1}} = \lim_{n \to \infty}{\sum_{k = 0}^{n}\pars{2k + 1}^{\,p} \over n^{p + 1}} \\[5mm] = &\ \lim_{n \to \infty}{\sum_{k = 0}^{n + 1}\pars{2k + 1}^{\,p} - \sum_{k = 0}^{n}\pars{2k + 1}^{\,p} \over \pars{n + 1}^{p + 1} - n^{p + 1}} \qquad\pars{~Stolz-Ces\grave{a}ro\ Theorem~} \\[5mm] = &\ \lim_{n \to \infty}{\pars{2n + 3}^{\,p} \over n^{p + 1} \bracks{\pars{1 + 1/n}^{p + 1} - 1}} = 2^{p}\lim_{n \to \infty}{\bracks{1 + 3/\pars{2n}}^{\,p} \over n \bracks{\pars{1 + 1/n}^{p + 1} - 1}}\label{1}\tag{1} \end{align}

Tenga en cuenta que $\ds{{\bracks{1 + 3/\pars{2n}}^{\,p} \over n \bracks{\pars{1 + 1/n}^{p + 1} - 1}} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, {1 + 3p/\pars{2n} + 9p\pars{p - 1}/\pars{8n^{2}}\over n\bracks{\pars{p + 1}/n + \pars{p + 1}p/\pars{2n^{2}}}}}$

\begin{align} &\mbox{such that}\quad\lim_{n \to \infty}{\bracks{1 + 3/\pars{2n}}^{\,p} \over n \bracks{\pars{1 + 1/n}^{p + 1} - 1}} = {1 \over p + 1} \\[5mm] &\ \mbox{and}\quad\pars{~\mrm{see}\ \eqref{1}~}\quad \bbx{\lim_{n \to \infty}{1^{p} + 3^{p} + \cdots + \pars{2n + 1}^{\,p} \over n^{p + 1}} = {2^{p} \over p + 1}} \end{align}