Encontrar los dos últimos dígitos de $12^{12^{12^{12}}}$ usando el teorema de Euler

Question

Estoy suppossed a encontrar los dos últimos dígitos de $12^{12^{12^{12}}}$ usando el teorema de Euler.
He descubierto que iría como $12^{12^{12^{12}}} \mod{100}$.

Pero yo realmente no sé cómo avanzar a partir de ahí. Todas las sugerencias serán bienvenidos.

Answer 1

(Gracias a anon para señalar un error en un post anterior).

Sugerencia: Para solucionar $x \equiv 12^{12^{12^{12}}} \pmod{100}$, debemos resolver las ecuaciones $$x \equiv 12^{12^{12^{12}}} \pmod{4} \tag{1}$$ $$x \equiv 12^{12^{12^{12}}} \pmod{25},\tag{2}$$ y, a continuación, aplicar el Teorema del Resto Chino.

Solución de la ecuación (1) es muy fácil. $12 \equiv 0 \pmod{4} \implies 12^k \equiv 0 \pmod{4}$ para todos los enteros $k$. La ecuación (2) puede ser resuelto mediante el Teorema de Euler:

$$ x \equiv y \pmod{\varphi(n)} \implies a^x \equiv a^y \pmod{n},$$

tan largo como $\gcd(a,n) = 1$. Puntada de todas estas cosas juntas para encontrar su solución.

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Alternativa (y potencialmente mejor) Sugerencia:

Tenga en cuenta que $12^{12^{12^{12}}} = 3^{{12^{12^{12}}}} \cdot 4^{{12^{12^{12}}}}$. Por lo tanto:

$$ 12^{12^{12^{12}}} \pmod{100} = 3^{{12^{12^{12}}}} \cdot 4^{12^{12^{12}}} \pmod{100}. $$

Answer 2

$$ 12=10+2 $$

$$ 12^{12}=(10+2)^{12}\equiv 10\cdot 12\cdot 2^{11}+2^{12}=120\cdot 2048+4096 \equiv 960+96\equiv 56 $$

Por lo tanto,

$$ 12^{12}\equiv 56 $$

Ahora, nos fijamos en $ 12^{{12}^{12}}\equiv 56^{12} $ ,

$56^{12}=(2^3\cdot 7)^12=(2^{6}\cdot7^{2})^6=(64\cdot 49)^6\equiv 36^6=6^4\cdot6^4\cdot6^4\equiv (-4)(-4)(96)=16\cdot 96\equiv 36$

Por lo tanto,

$$ 12^{{12}^{12}}\equiv 36 $$

Ahora, nos fijamos en $ 12^{{12}^{{12}^{12}}}\equiv 36^{12} $ ,

$36^{12}=(36^6)^2\equiv36^2\equiv 96$

Y,

$$12^{{12}^{{12}^{12}}}\equiv 96\pmod {100} $$