Mientras que mirando a través de un ejemplo en Carothers' Análisis Real, encontré lo siguiente:
$$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$
y, por supuesto, me di cuenta de que es similar a $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, por lo que ya no veo cómo conseguir la primera expresión de inmediato, traté de demostrarlo.
Desde $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, si puedo tomar el $x^{\text{th}}$ el poder en ambos lados conseguiría $$e^x=\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^x$$
No estoy seguro de cómo simplificar este proceso. Mi intento:
Asumiendo $\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}$,
(Bastante seguro de que esta suposición es incorrecta aunque..)
Puedo hacer el cambio de variable $k=nx$. También tenga en cuenta que $k=nx\implies n=\frac{k}{x}$
La sustitución de estos, tengo que
$$\lim_{k\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{\frac{k}{x}}\right)^k=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{x}{k}\right)^k$$
Por lo tanto $$e^x=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{x}{k}\right)^k$$
Mi pregunta esencialmente puede resumirse de la siguiente manera:
Es esto válido: $$\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}$$
Si no, ¿cómo lo harías tratando de demostrar que la declaración inicial?
