No triviales solución a través de $\mathbb{Z}_p$

Question

Supongamos que p es impar el primer. Demostrar que
$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^2 + a_4x_4^2 + a_5x_5^2 = 0$

siempre tienen no trivial de la solución a través de $\mathbb{Z}_p$ para cualquier elección de $a_i$$\mathbb{Z}$. donde $\mathbb{Z}_p$ es el p-ádico enteros

Answer 1

Si $p \mid a_i$ algunos $i$, $x_i=1$ $x_j=0$ $j \not =i$ da no trivial de la solución a través de $\mathbb{Z}_p$.

De lo contrario, supongamos $p \nmid a_i, i=1, 2, 3, 4, 5$.

Si $p \equiv 1 \pmod{4}$,$\left(\frac{-1}{p}\right)=1$, de modo que existe $c \in \mathbb{Z}_p$ s.t. $c^2 \equiv -1 \pmod{p}$. Considere la posibilidad de $\left(\frac{a_i}{p}\right), i=1, 2, 3, 4, 5$. Por el principio del Palomar, debemos tener $\left(\frac{a_i}{p}\right)=\left(\frac{a_j}{p}\right)$ algunos $i \not =j$.

Si $\left(\frac{a_i}{p}\right)=\left(\frac{a_j}{p}\right)=1$, $\exists b_i, b_j \in \mathbb{Z}_p$ tal que $b_i^2 \equiv a_i \pmod{p}$$b_j^2 \equiv a_j \pmod{p}$. Ahora tome $x_i=b_i^{-1}, x_j=b_j^{-1}c$$x_k=0$$k \not =i, j$. Esto le da un no-trivial solución, ya que contamos con $a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2+a_4x_4^2+a_5x_5^2 \equiv (b_i)^2(b_i^{-1})^2+(b_j)^2(b_j^{-1}c)^2 \equiv 0 \pmod{p}$.

Si $\left(\frac{a_i}{p}\right)=\left(\frac{a_j}{p}\right)=-1$, vamos a $n$ ser una ecuación cuadrática no-residuo $\pmod{p}$, por lo que el$\left(\frac{na_i}{p}\right)=\left(\frac{na_j}{p}\right)=1$, $\exists b_i, b_j \in \mathbb{Z}_p$ tal que $b_i^2 \equiv na_i \pmod{p}$$b_j^2 \equiv na_j \pmod{p}$. Ahora tome $x_i=b_i^{-1}, x_j=b_j^{-1}c$$x_k=0$$k \not =i, j$. Esto le da un no-trivial solución, ya que contamos con $n(a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2+a_4x_4^2+a_5x_5^2) \equiv (b_i)^2(b_i^{-1})^2+(b_j)^2(b_j^{-1}c)^2 \equiv 0 \pmod{p}$$p \nmid n$.

Si $p \equiv 3 \pmod{4}$,$\left(\frac{-1}{p}\right)=-1$. Por lo tanto $\left(\frac{a_i\left(\frac{a_i}{p}\right)}{p}\right)=1$, lo $\exists b_1, b_2, b_3, b_4, b_5 \in \mathbb{Z}_p$ s.t. $a_i \equiv \left(\frac{a_i}{p}\right)b_i^2 \pmod{p}, i=1, 2, 3, 4, 5$. Deje $x_i=b_i^{-1}y_i$, por lo que \begin{align} & a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2+a_4x_4^2+a_5x_5^2 \\ & \equiv \left(\frac{a_1}{p}\right)y_1^2+\left(\frac{a_2}{p}\right)y_2^2+\left(\frac{a_3}{p}\right)y_3^2+\left(\frac{a_4}{p}\right)y_4^2+\left(\frac{a_5}{p}\right)y_5^2 \pmod{p} \end{align}

Claramente no trivial de la solución para la expresión en $y_i$ $0 \pmod{p}$ correspondería a un no-trivial solución para $x_i$.

Si $\left(\frac{a_i}{p}\right)=-1, \left(\frac{a_j}{p}\right)=1$ algunos $i, j$, entonces vamos a $y_i=y_j=1$, $y_k=0$ para$k \not =i, j$,$\left(\frac{a_1}{p}\right)y_1^2+\left(\frac{a_2}{p}\right)y_2^2+\left(\frac{a_3}{p}\right)y_3^2+\left(\frac{a_4}{p}\right)y_4^2+\left(\frac{a_5}{p}\right)y_5^2 \equiv \left(\frac{a_i}{p}\right)+\left(\frac{a_j}{p}\right) \equiv 0 \pmod{p}$.

De lo contrario,$\left(\frac{a_1}{p}\right)=\left(\frac{a_2}{p}\right)=\left(\frac{a_3}{p}\right)=\left(\frac{a_4}{p}\right)=\left(\frac{a_5}{p}\right)$, por lo que tenemos \begin{align} & \left(\frac{a_1}{p}\right)y_1^2+\left(\frac{a_2}{p}\right)y_2^2+\left(\frac{a_3}{p}\right)y_3^2+\left(\frac{a_4}{p}\right)y_4^2+\left(\frac{a_5}{p}\right)y_5^2 \\ & \equiv \left(\frac{a_1}{p}\right)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+y_5^2) \pmod{p} \end{align}

Por Lagrange de cuatro cuadrados teorema, podemos escribir $p=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2, m_1, m_2, m_3, m_4 \in \mathbb{Z}$. Claramente tenemos $0 \leq m_1^2, m_2^2, m_3^2, m_4^2 \leq p$, e $m_i$ no son todos los $0$, por lo que no son todos divisibles por $p$. Ahora tome $y_i \equiv m_i \pmod{p}$$i=1, 2, 3, 4$$y_5=0$. Esto da entonces no trivial de la solución, y hemos terminado.

Edit: en Realidad no tenemos ni siquiera la necesidad de Lagrange de cuatro cuadrados teorema. Deje $q$ ser el más mínimo cuadrática no-residuo $\pmod{p}$. A continuación, $1, q-1, -q$ son todos los residuos cuadráticos $\pmod{p}$, por lo que tenemos $r^2 \equiv q-1 \pmod{p}$ $s^2 \equiv -q \pmod{p}$ algunos $r, s \in \mathbb{Z}_p$. A continuación, tome $y_1=1, y_2=r, y_3=s, y_4=y_5=0$, y tenemos no trivial de la solución, por lo que estamos por hacer.