¿Cuál es el punto de los residuos cuadráticos?

Question

¿Cuál es la forma más motivadora de introducir los residuos cuadráticos? ¿Existen ejemplos reales de residuos cuadráticos? ¿Por qué se considera la Ley de Reciprocidad Cuadrática como una de las más importantes de la teoría de números?

Answer 1

Advertencia: estos son puros ejemplos matemáticos de por qué nos gustan los residuos cuadráticos, no de la vida real.

Bueno, esto es más residuos cuadráticos que reciprocidad cuadrática, pero el cálculo de $\left(\frac{-1}p\right)$ y $\left(\frac{-3}{p}\right)$ (son símbolos de Legendre) son esenciales para determinar cuándo los primos de los números naturales son primos en los enteros de Gauss ( $\Bbb Z[i]$ ) y los enteros de Eisenstein ( $\Bbb Z[e^{2\pi i/3}]$ ). Además, son necesarios para demostrar cuándo los números son expresables como $a^2+b^2$ o $a^2+ab+b^2$ para $a,b\in\Bbb Z$ . La prueba bicuadrada es también extensible a Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange que también utiliza residuos cuadráticos.

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También existe una relación bastante interesante entre los símbolos de Jacobi y las permutaciones que consiste en que si escribes la acción de la multiplicación en un anillo $\Bbb Z/n\Bbb Z$ por $a$ en notación de ciclo (por ejemplo $2\cdot \Bbb Z/9\Bbb Z$ : $$ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}\to\{0,2,4,6,8,1,3,5,7\}=(0)(124875)(36) $$ ) entonces el signo de la permutación (donde signo se define como $(-1)^{n}$ donde $n$ es el número de $2$ -ciclos en los que se descompone la permutación) es igual a $\left(\frac an\right)$ donde eso es el símbolo de Jacobi.

Dicho de forma más concisa: $\text{sgn}(a\cdot(\Bbb Z/n\Bbb Z))=\left(\frac an\right)$ donde $a\cdot(\Bbb Z/n\Bbb Z)\in S_n$ .

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Por último, le remito a este post de mathSE que tiene un montón de buenas respuestas a una pregunta similar.

Answer 2

La reciprocidad cuadrática es importante porque proporciona un puente entre dos ramas aparentemente distintas de las matemáticas, a saber, la teoría de las representaciones de Galois y la teoría de las formas automórficas. $L$ -funciones proporcionan el puente entre las dos teorías.

Dejemos que $K=\mathbf Q(\sqrt{D})$ sea un campo cuadrático con discriminante fundamental $D$ . Sea $G=\text{Gal}(K/\mathbf Q)$ . El grupo $G=\left<\sigma\right>$ es cíclico de orden $2$ y por lo tanto tiene dos representaciones complejas irreducibles, ambas de dimensión $1$ : el trivial, y el que $\sigma \mapsto -1$ . Si $\rho$ es esta última representación, entonces la división de los primos en $K$ está codificado por $\rho$ a través del Frobenius, es decir, siempre que $(p, D)=1$ tenemos $\rho(\text{Frob }p) = +1$ si $p$ se divide en $K$ y $-1$ si es inerte. Según la reciprocidad cuadrática, el Artin $L$ -función $L(\rho, s)$ es igual al Dirichlet $L$ -función $L(\chi, s)$ , para $\chi$ el carácter cuadrático primitivo de Dirichlet de módulo $D$ . Así, tenemos un ejemplo de un $L$ -de un objeto algebraico (la representación de Galois $G_{\mathbf Q} \to G \xrightarrow{\rho} \pm 1$ ) que es igual al $L$ -de un objeto analítico (esencialmente la función theta $\theta(\chi, q)$ adjunta a $\chi$ ).

Esto significa que la descripción de la división de los primos en $K$ aunque aparentemente es una cantidad infinita de información, en realidad puede ser determinada por una cantidad finita de información (conocimiento del carácter $\chi$ ).

Answer 3

La reciprocidad cuadrática es importante si estás cortando un molde de 8x8 de brownies en trozos cuadrados muy pequeños para 21 amigos y quieres saber si puedes darles a todos la misma cantidad y que queden exactamente cinco trozos para ti.

Answer 4

Siempre me gusta motivarles con el deseo de resolver ecuaciones diofantinas.

Si reto a alguien a resolver cualquiera de estas desagradables ecuaciones sobre los números enteros:

$x^2 + 440xy^{45} + 88x^{57} = 3$

$48x^5 + y^2 + 3000z^{34} = 17$

$55x^4 + 60xy^3 + 50001z^2 = 1532877192878$

entonces seguro que luchas utilizando medios elementales. En todos los casos se podría establecer una búsqueda de fuerza bruta y no obtener soluciones, pero por supuesto esto no es realmente una prueba.

Sin embargo, se nota que si hubiera alguna solución a estas entonces se podría reducir cada ecuación mod $4,3,5$ respectivamente y se quedaría resolviendo:

$x^2 = 3 \bmod 4$

$y^2 = 2 \bmod 3$

$z^2 = 3 \bmod 5$

¡y realmente SON cosas que podemos demostrar que no tienen solución muy fácilmente! Sólo hace falta una cantidad finita de búsqueda para encontrar residuos cuadráticos. Lo bueno aquí es que podría haber cambiado la mayoría de los coeficientes anteriores por múltiplos de $4,3,5$ y seguía sin tener soluciones.

El poder de la aritmética modular es sorprendente.

Otro bonito resultado es que ningún número que sea $3 \bmod 4$ puede ser alguna vez una suma de dos números cuadrados. ¿Por qué? Bueno, si $n \equiv 3 \bmod 4$ y $x^2 + y^2 = n$ entonces buscando mod $4$ el LHS tendría que ser $0,1$ o $2$ (ya que los residuos cuadráticos mod $4$ son $0,1$ ) pero el lado derecho sería $3 \bmod 4$ ¡!

Answer 5

Dejemos que $p$ sea un primo impar. Abajo, $a, b, c$ son números enteros.

La simple aritmética modular te dice cuándo $ax + b \equiv 0 \pmod p$ , $a \not\equiv 0 \pmod p$ tiene solución (es decir, siempre). ¿Qué pasa con $ax^2 + bx + c \equiv 0 \pmod p$ , $a \not\equiv 0 \pmod p$ ?

Como $4a \not\equiv 0 \pmod p$ podemos multiplicar por $4a$ sin cambiar las soluciones. Esto da como resultado $4a^2x^2 + 4abx + 4ac \equiv 0 \pmod p$ . Completando el cuadrado, podemos reescribirlo como $(2ax + b)^2 \equiv b^2 - 4ac \pmod p$ . Dejar $y = 2ax + b$ y $d = b^2 - 4ac$ vemos que cualquier cuadrática $ax^2 + bx + c$ cuando se considera el módulo $p$ puede reducirse a la forma $$y^2 \equiv d \pmod p.$$

Esta equivalencia tiene solución si y sólo si $d$ es un residuo cuadrático de $p$ . En particular, $ax^2 + bx + c \equiv 0 \pmod p$ tiene solución si y sólo si el discriminante es un residuo cuadrático módulo $p$ .

Por esta razón, veo los residuos cuadráticos como una indicación de cuándo puedo resolver una ecuación cuadrática módulo $p$ (o, por el contrario, en el ámbito $\mathbb{Z}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ).