Es cierto que si una matriz triangular superior $A$ con entradas complejas tiene elementos distintos en la diagonal, entonces $A$ es diagonal. Sin embargo, no creo que lo contrario sea cierto. ¿Hay una caracterización completa de todas las matrices triangulares superiores diagonalizables?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Brian Hinchey
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Toda matriz diagonal superior con elementos distintos en la diagonal, es diagonalizable, porque $$\det(A-\lambda I)=\prod_{i=1}^n (a_{ii}-\lambda)$$ Con $a_{ii}\neq a_{jj}$ para $i\neq j$ por lo que cada valor propio tiene multiplicidad $1$ .
Lo contrario no es cierto, toma $A=I$ que $A$ está diagonalizado, pero no con valores distintos en la diagonal.
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Sí, es cierto. En caso de que haya valores propios con multiplicidad mayor que $1$ Ambos casos pueden darse: $A$ puede ser diagonalizable o no diagonalizable.
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"Matrices triangulares superiores diagonalizables" me parece una caracterización bastante sólida :P No conozco ninguna forma de caracterizarlas, excepto caracterizando la diagonalizabilidad por separado (por ejemplo, la extensión de los vectores propios, etc.)
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Una idea heurística de por qué no debemos esperar un buen resultado: por la descomposición de Schur, toda matriz cuadrada compleja es similar a una matriz triangular superior. Si además de los valores propios pudiéramos leer las multiplicidades geométricas de las entradas de una matriz triangular, en estos días ya tendríamos un algoritmo conocido para buscar la diagonalizabilidad general a partir de la descomposición de Schur.