Determinante de la información de Fisher

Question

En la información de la geometría, el determinante de la matriz de información de Fisher es un volumen natural de formulario en una estadística del colector, por lo que tiene una buena interpretación geométrica.

Pero, ¿qué es la estadística? Hace como medida de algo significativo? (Por ejemplo, yo diría que si es cero, entonces los parámetros no son independientes. ¿Esto de ir más lejos?)

También, hay alguna forma cerrada para calcular?

Gracias.

Actualización: he publicado una pregunta similar en las estadísticas.se.

Answer 1

Usted puede generalizar @Eupraxis1981 la respuesta a todos los naturales exponencial de las familias, que se distribuciones cuya densidad tiene la forma:

\begin{align} f(x \mid \eta) &= \exp\bigl({T(x) \cdot \eta - g(\eta)} + h(x)\bigr), \qquad x \in \Omega \end{align}

Sus Fisher información es el de la Arpillera de la (siempre estrictamente convexa y $C^\infty$ diferenciable) de registro-normalizador:

\begin{align} \mathcal I(\eta) &= -E(\nabla^2_{\eta} \log f(x \mid \eta) \mid \eta) \\ &= -E\Bigl(\nabla^2_{\eta} \bigl({T(x) \cdot \eta - g(\eta)} + h(x)\bigr) \mathrel{}\Bigm\vert\mathrel{} \eta\Bigr) \\ &= E\bigl(\nabla^2_{\eta} g(\eta) \mathrel{}\bigm\vert\mathrel{} \eta\bigr) \\ &= \nabla^2_{\eta} g(\eta). \end{align}

Por lo tanto la curvatura de la log-normalizador le dice cómo informativo de la realización de una distribución cuyos parámetros se $\eta$ es. Es lógico que la ubicación de los parámetros no afectan a la información de Fisher.