Mostrando la derivada de esta función es igual a $0$

Question

Definir $f:[0,1]\to [0,1]$ por

$$f(x)=\begin{cases}0, &x=0,\\ \\ \sum\limits_{r_n<x } 2^{-n}, & 0 \lt x \le 1, \end{cases} $$

donde $\{r_n \}_{n\in \mathbb N} =\mathbb Q \cap (0,1) $.

Cómo demostrar que la derivada $f'(x)=0$.e.?

Me puede mostrar esta función es creciente y discontinua en todos los racionales, y de cómo la palabra?

Answer 1

La siguiente es la respuesta primaria que Pietro Majer dio a esta cuestión, MO. Copio la respuesta, por lo que podemos considerar esta pregunta contestada.

Considerar el anidado de la familia de abrir nbd de $(0,1)\cap\mathbb{Q}\ :$ $$A_\epsilon:=\cup_{n\in\mathbb{Z} _ + } (r_n- \epsilon 2^{-n/3},r_n+ \epsilon 2^{-n/3})\ , \qquad \epsilon > 0\ . $$ Por lo $|A _\epsilon|=O(\epsilon)$ $A:=\cap _ {\epsilon > 0} A _ \epsilon$ tiene medida cero. Deje $x \in (0,1) \setminus A$: existe $\epsilon > 0$ tal que para cualquier $n\in\mathbb{Z}_+$ no tiene $ \epsilon 2^{-n/3}\le |x-r_n|$. Así, para cualquier $y\in (0,1)$ $$|f(x)-f(y)|\le \sum_{|x- r _ n|\le|x- y| } 2^{-n}= \frac{1}{\epsilon^2}\sum_{|x- r _ n|\le|x- y| } 2^{-n/3}(\epsilon 2^{-n/3})^2\le $$ $$\le \frac{1}{\epsilon^2}\bigg(\sum_{n=1}^\infty 2^{-n/3}\bigg)|x-y|^2= \frac{|x-y|^2}{\epsilon^2(2^{1/3}-1))}\ ,$$ showing that $f'(x)=0\ .$

Answer 2

No llegarás a ningún lado si intenta demostrar que $f$ es diferenciable (con 0 derivados) en cada una de las irracional punto. Ver aquí, cuyo resultado implica que existe un subconjunto de los números irracionales, densa en el intervalo, sobre el que se $f$ no es diferenciable. (Esta pregunta, sin embargo, ilustra perfectamente la diferencia entre los pequeños en el sentido de categoría de Baire y pequeñas en el sentido de la medida.)