La prueba de que $\gcd(2^m-1,2^n+1)=1$ por extraño $m$ el uso de teoría de grupos

Question

A continuación se una perfectamente bien prueba el uso de herramientas básicas de la teoría de los números:

Mostrando $\gcd(2^m-1,2^n+1)=1$

Podemos probar esto más rápidamente a través de la teoría de grupo? Yo estaría muy interesado en ver un resumen de álgebra-con sabor a prueba.

Answer 1

Deje $d=\gcd(2^m-1,2^n+1)$ $\phi:\mathbb Z\to \mathbb{Z}/(d)$ ser el natural homomorphism de los anillos. Vamos a utilizar una barra de convención. Desde $d\mid 2^m-1$,$0=\overline{2^m-1}={\bar 2}^m-1$, es decir,$\bar 2^m=1$. Del mismo modo, $\bar 2^n=-1$. De ello se sigue, que el $\bar 2\in(\mathbb{Z}/(d))^*$ donde $(\mathbb{Z}/(d))^*$ - grupo de invertible elementos de $\mathbb{Z}/(d)$. Desde $\bar 2^n=-1$,$\bar 2^{2n}=1$. Por eso,$\bar 2^m=1$$\bar 2^{2n}=1$, por lo tanto $|\bar 2|\mid m$$|\bar 2|\mid 2n$, es decir,$|\bar 2|\mid\gcd(m,2n)$. Desde $m$ impar, entonces $\gcd(m,2n)=\gcd(m,n)$, por lo tanto $\bar 2^m=1$, $\bar 2^n=1$. Pero $\bar 2^n=-\bar 1$, por lo tanto $\bar 1=-\bar 1$. De ello se desprende que $\bar 2=0$, es decir,$d\mid 2$. Pero, obviamente, $d$ es extraño, por tanto,$d=1$.