Como se mencionó en la MO, este http://www.math.wayne.edu/~isaksen/Expositivas/transporte.pdf da un maravilloso punto de vista de la primaria.
Tengo otra explicación simple de usar matrices de forma explícita que muestra por qué cocycles surgir.
Supongamos que consideramos que las representaciones de un grupo de $G$ sobre un campo $K$. Supongamos que tenemos dos representaciones tridimensionales $\chi_1,\chi_2$ (también conocido como "caracteres"). Nos gustaría encontrar extensiones de $\chi_2$$\chi_1$, es decir, representaciones de $V$ que hay una secuencia exacta $$1 \to \chi_1 \to V \to \chi_2 \to 1.$$
Ahora $V$ automáticamente en dos dimensiones (más de $K$), por lo que podemos escribir la representación como $\rho:G \to \mathrm{GL}_2(K)$. Elegir una base adaptada para el subespacio $\chi_1$, por lo que el $\rho(g)$ $g \in G$ tiene una representación de la matriz de
$$
\begin{pmatrix}
\chi_1(g) & f(g)\\
0 & \chi_2(g)
\end{pmatrix}$$
donde $f$ es algo de la función $G \to K$. Observe que si $f$ es siempre cero, $V$ es el trivial de la extensión (es decir, el producto de las dos representaciones tridimensionales), y por el contrario, si $V$ es trivial y, a continuación, elegir una base adecuada hace que la función $f$ igual a $0$. En otras palabras, esta parte superior derecha de la matriz de entrada gobierna la no trivialidad de la extensión.
Ahora, el hecho de que $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$ implica que $$
\begin{pmatrix}
\chi_1(gh) & f(gh)\\
0 & \chi_2(gh)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\chi_1(g) & f(g)\\
0 & \chi_2(g)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\chi_1(h) & f(h)\\
0 & \chi_2(h)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\chi_1(gh) & \chi_1(g)f(h)+\chi_2(h)f(g)\\
0 & \chi_2(gh)
\end{pmatrix}
$$
Por lo tanto, $f(gh)= \chi_1(g)f(h)+\chi_2(h)f(g)$. Uno puede (y debe) piense en esto como una cocycle condición para este mapa $G \to K$.
En particular, si $\chi_1=\chi_2=1$, $f$ es un homomorphism $G \to K$.
Intuitivamente, esto explica por qué las representaciones de un grupo finito sobre un campo de características de primer orden de lo finito grupo debe ser semisimple; la única homomorphisms de que finito de grupo para el grupo aditivo del campo son triviales.
Ejercicio: Piense en cómo un isomorfismo entre dos extensiones da un coboundary haciendo que las dos cocycles cohomologous.
Tenga en cuenta que uno puede cocinar cocycles arbitrarias finito-dimensional de las representaciones; la estructura de bloque se verá un poco diferente. Si examinamos $\mathrm{Ext}(K,M)$ donde $K$ es la trivial dimensiones de la representación y de la $M$ tiene el grado $m$, una prórroga será una representación de $G$ a $(m+1) \times (m+1)$ matrices, con un bloque de $m$ en la parte superior izquierda correspondiente a $M$. El "superior derecha" va a ser una columna de longitud $m$. En este sentido, el objetivo de la asignación de $G$ debe ser en $M$. De hecho, esta es una cocycle para el primer grupo cohomology de $M$. Más en general, una cocycle para un elemento de $\mathrm{Ext}^1(N,M)$ es un mapa de $G$ a $\mathrm{Hom}_K(N,M)$. Esto tiene sentido, porque si $N$ tiene el grado $n$, luego la parte superior-derecha de la entrada debe ser una $m \times n$ matriz, que debe representar un elemento de $\mathrm{Hom}_K(N,M)$.
