En cuanto a la ecuación funcional no lineal $f(x)f(x) =x+1+f(x+1)$

Question

Hay un problema en el que he estado trabajando durante un tiempo y que implica algunas ecuaciones funcionales considerables. Por ejemplo, puedo tener algo parecido a

$$ f(x)f(x) =x+1+f(x+1) $$

He probado varios métodos de ataque diferentes (lo más lejos que llegué fue probablemente con una serie de potencias que no daba una relación de recurrencia) pero nunca llega a mucho. Por si fuera poco, no conozco ningún valor de $f(x)$ , aparte de eso $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ . La cosa es que, en realidad, no me importa $f(x)$ Sólo quiero saber $f(0)$ (analíticamente) pero nunca consigo dos ecuaciones para un punto determinado.

Me preguntaba si alguien tiene alguna idea sobre cómo resolver esto, o incluso sólo alguna idea sobre si es o no puede se resuelve. Gracias.

Edición: Datos adicionales

• Se puede exigir que $1<f(0)<2$
• $f(x)$ es estrictamente creciente
• $f(x)$ es no negativo

Answer 1

Sus restricciones no son lo suficientemente fuertes como para imponer un valor único a $f(0)$ . De hecho, a continuación muestro que allí para cada valor $a$ entre $1.8$ y $2$ hay una solución con $f(0)=a$ (de hecho, para un determinado $a$ hay un número incalculable de soluciones de este tipo, como demostrará nuestra construcción).

Dada una función $\phi : [0,1[ \to {\mathbb R}$ hay una solución única $f: [0,+\infty[ \to {\mathbb R}$ a la ecuación funcional que coincide con $\phi$ en $[0,1[$ . De hecho, tendremos

$$ \begin{array}{lcl} f(x)&=&\phi(x-1)^2-x=\phi_1(x) \ \ (\text{for }\ x\in[1,2[) \\ f(x)&=&\phi_1(x-1)^2-x=\phi_2(x) \ \ (\text{for }\ x\in[2,3[) \\ \end{array}\tag{1} $$ y así sucesivamente.

Ahora, dejemos que $a \in [1.8,2]$ y que $\phi : [0,1] \to {\mathbb R}$ sea un mapa continuo y estrictamente creciente que satisfaga las condiciones de contorno $\phi(0)=a, \phi(1)=a^2-1$ (por lo que, por ejemplo, podría tomar $\phi$ afín, o trigonométrico, etc).

Entonces el $f$ definida únicamente por (1) también será continua y estrictamente creciente (en particular, $f$ será positivo). Por lo tanto, todo lo que tenemos que demostrar es que $f \to +\infty$ en $+\infty$ ya que $f$ es estrictamente creciente, basta con demostrar que $f(n) \to +\infty$ cuando $n$ es un número entero.

Tenemos $$ \begin{array}{lcl} f(1)&=&f(0)^2-1 \geq 1.8^2-1=2.24 \\ f(2)&=&f(1)^2-2 \geq 2.24^2-2=3.0176 \geq 3 \\ f(3)&=&f(2)^2-3 \geq 3^2-2=6 \\ \end{array}\tag{1} $$

Podemos entonces utilizar la inducción matemática: demostremos que $f(k) \geq k$ para cada $k\geq 3$ .

El $k=3$ caso acaba de ser revisado. Supongamos que la hipótesis es verdadera para algunos $k\geq 3$ . Tenemos

$$f(k+1)=f(k)^2-(k+1) \geq k^2-(k+1)=k-2+(k-1)^2 \geq k-2+4=k+2 \geq k+1 $$

Así que la hipótesis se mantiene en el siguiente nivel. Esto demuestra que $\lim_{+\infty}(f)=+\infty$ como deseaba.