¿Por qué no la probabilidad de las medidas requeridas para el uso de $2^X$ como subyacente $\sigma$-álgebra?

Question

Deje $Y$ ser una variable aleatoria que toma valores en un conjunto $X$, de acuerdo a una probabilidad de medida $\mu$. Si el $\sigma$-álgebra en que $\mu$ está definida de no $2^X$, entonces no existe $A \subset X$ $\mu(A)$ indefinido. Esto implica que el evento "en la realización de $y$ $Y$ satisface $y \in A$" ha indefinido probabilidad. Pero ese no puede ser a la derecha: si nos muestra $Y$ más y más, la frecuencia con la que nuestro evento sea una realidad deberían converger en algún valor, por lo que el caso no tiene una probabilidad.

Todos debemos de probabilidad de las medidas definidas en $2^X$? O es mi intuición de que en el mundo real, todos los eventos tienen una probabilidad mal?

Answer 1

Hay varias razones por las que podemos trabajar con $\sigma$-álgebras menor que $2^X$:

1. Nos podría querer dibujar un punto en la unidad de intervalo de $[0,1]$ en una manera que ningún punto se dibuja con probabilidad positiva. Esto es consistente con la habitual axiomas de la teoría de conjuntos que esto es imposible. En particular, se sigue a partir de un resultado de Ulam que esto es imposible bajo la hipótesis continua.

2. Aún más: puede que quiera tener una uniforme distribución de probabilidad en $[0,1]$. La Vitali construcción muestra que esto es imposible.

3. Sólo estamos interesados en una pequeña clase de evento en la práctica y desea formas eficientes para determinar su información. Para el Borel $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}$, todas las distribuciones de probabilidad está determinada por una función de distribución acumulativa y esto es bastante útil en la práctica.

También hay problemas con la frecuencia relativa de la interpretación. Supongamos $X=\mathbb{N}$ y la naturaleza dibuja la secuencia de $1,2,3,\ldots$. Cada número se le asigna probabilidad cero, por lo que las frecuencias relativas de violar contables de aditividad.

Answer 2

Una de alguna manera complementaria respuesta a la de Hagen sería que en la teoría de la probabilidad, como contraposición a la teoría de la medida, sigma campos tienen un significado mucho más profundo que un simple marco técnico necesario definir una medida.

Probabilists tienden a equipar sus espacios de probabilidad con un montón de diferentes sigma-campos (que son sub-sigma-campos de la $\mathcal F$ que viene en la definición de la probabilidad en el espacio), y verlos como "cantidades de información que un observador puede tener". Por ejemplo, para un observador que sabe el valor de una variable aleatoria $X$ y que nada más iba a corresponder el sigma-el campo $\sigma(X) = \{X^{-1}[A] | A \text{ Borel}\}$.

A la luz de esta intuición podemos decir que un conjunto es medible si tenemos suficiente información para decir si $\omega$ se encuentra allí o no. Y el "malo" de subconjuntos de, digamos, $\mathbb{R}$, son en realidad tan malo que no podemos medir los resultados de un experimento "precisamente" lo suficiente como para decir si se encuentra allí.

Answer 3

En el "mundo real", no es ni verdadera probabilidad ni hay no-medibles conjuntos. En el mundo real, usted podría no ser capaz de repetir un "experimento aleatorio" a menudo es suficiente para obtener algo de manera concluyente que indica que la convergencia podría ocurrir si se repite el experimento infinitamente a menudo (que es algo que no puedes hacer en el primer lugar). Sería de esperar que un número aleatorio uniforme en $[0,1]$ es en un conjunto $A\subset [0,1]$ con probabilidad proporcional a la "zona" de $A$. Sin embargo, no podemos muy bien definir un área de medida para todos los subconjuntos de a $[0,1]$.