Teorema Del Binomio Pregunta..

Question

Sólo estudiando para mi combinatoria examen. Mi profe dijo que no habría una pregunta similar a esta en el examen, así que estoy tratando de resolver esto.

$$\sum^{20}_{k=0} \binom{41}{k}$$

Sé que si puedo factor $\dbinom{20}{k}$ entonces puede obtener el siguiente:

$$A\sum^{20}_{k=0}\binom{20}{k} * 1^k * 1^{n-k} = A(1+1)^{20}$$

Yo no sé cómo llegar allí...

Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Usted está en el camino equivocado, me temo. El truco es darse cuenta de que su suma es exactamente la mitad de la suma total $\sum_{k=0}^{41}\binom{41}k$ debido a la simetría de la binomial coeffients: $\binom{41}{41-k}=\binom{41}k$.

$$\begin{align*} 2^{41}&=\sum_{k=0}^{41}\binom{41}k\\ &=\sum_{k=0}^{20}\binom{41}k+\sum_{k=21}^{41}\binom{41}k\\ &=\sum_{k=0}^{20}\binom{41}k+\sum_{k=21}^{41}\binom{41}{41-k}\\ &=\sum_{k=0}^{20}\binom{41}k+\sum_{i=0}^{20}\binom{41}i&&\text{set }i=41-k\\ &=2\sum_{k=0}^{20}\binom{41}k\;, \end{align*}$$

de modo que $$\sum_{k=0}^{20}\binom{41}k=2^{40}\;.$$

Answer 2

$$(1+1)^{41}= \sum^{41}_{k=0} \binom{41}{k}$$

pero dado que los coeficientes binomiales son simétricas alrededor de $\,k=21\,$ , sabemos que

$$2^{41}= \sum^{20}_{k=0}\binom{41}{k}+\sum^{20}_{k=0}\binom{41}{k}\, $$

así

$$2^{40}= \sum^{20}_{k=0} \binom{41}{k}$$