Dar un ejemplo de una función de $f$ satisfacción $\lim_{x\to 0}(f(x)f(2x))=0$,pero $\lim_{x\to 0}f(x)$ no existe

Question

Pregunta:

Dar un ejemplo de una función de $f$ satisfacer la condición de $$\lim_{x\to 0}(f(x)f(2x))=0$$ y de tal manera que $$\lim_{x\to 0}f(x)$$ no existe.

Creo que esta pregunta tiene muchos ejemplos. Pero ahora no puedo encontrar algún ejemplo.
Gracias

Answer 1

Ponemos $f(x)=\begin{cases} 1 &\mbox{if } x=\frac{1}{3^n},\quad n\in\mathbb{N} \\ 0 & \mbox{otherwise } . \end{casos} $

Tenemos $f(x)f(2x)=0$ por cada $x\in\mathbb{R}$ $f$ no tiene un límite en $0$.

Answer 2

Tome $$f=\chi_{A}$$ donde $$A=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k,\qquad A_k=\left(\frac{-1}{2^{2k}},\frac{-1}{2^{2k+1}}\right)\cup\left(\frac{1}{2^{2k+1}},\frac{1}{2^{2k}}\right).$$ Entonces $$\lim_{x\to0}f(x)$$ does not exist since $f(x)=0$ for some $x$ arbitrarily close to $0$ and $f(x)=1$ for some $x$ arbitrarily close to $0$. However, if $x\en$ then $2x\en A^{c}$ para

$$\lim_{x\to0}f(x)f(2x)=0$$