Los subespacios de $C^\alpha [0,1]$ son finito dimensionales cerrado en $C[0,1]$

Question

Para $0 < \alpha < 1$, vamos a $C^\alpha([0,1])$ ser el subespacio de $C[0,1]$ compuesto de funciones continuas con la norma $$ \| f\|_\alpha = \|f\| + \sup_{x\neq y} \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|^\alpha},$$ donde $\|\cdot\|$ es la ordinaria sup norma en $C[0,1]$.

Problema: Vamos a $X$ ser un subespacio lineal de $C^\alpha[0,1]$. Supongamos, además, $X$ es cerrado en $C[0,1]$. A continuación, $X$ es finito dimensionales.

Mi estrategia es la de mostrar que la unidad de la bola de $B \subseteq X$ es compacto w.r.t. el $\| \cdot \|_\alpha$ norma. Por el Arzela-Ascoli teorema, puedo demostrar que $B$ es compacto w.r.t. el $\| \cdot \|$ norma. Es claro para mí que $$\|\cdot\| \leq \|\cdot\|_{\alpha}.$$ Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar que hay un constante$C$, de modo que $$\|\cdot\|_\alpha \leq C\|\cdot\|?$$

Answer 1

Ya sé que la unidad de la bola en $X$ (denotado $B$) es compacto en el $\|.\|$ topología. Así que sólo hay que tener la estimación $$\| . \|_{\alpha} \leq C \|.\|$$

para algunos $C$ a la conclusión de que la $B$ es compacto en el $\|.\|_{\alpha}$ topología. Ahora $X$ es cerrado en $C[0,1]$, la inclusión $i : C^\alpha[0,1] \to C[0,1]$ es continua, de modo que $i^{-1}(X) = (X,\|.\|_{\alpha})$ es cerrado en $C^{\alpha}[0,1]$. Ahora tenemos en cuenta el "mapa de identidad" $$\Phi : (X,\|.\|_{\alpha}) \to (X,\|.\|)$$ que es bijective y continua. El dominio es un espacio de Banach por el párrafo anterior (un subespacio cerrado de un espacio de Banach es un espacio de Banach). Se sigue por la asignación abierta teorema de la que $\Phi^{-1}$ es continuo, de modo que tenemos la estimación anterior como se desee.