Desigualdad$|e^z -1| \le 2 |z|$ para$z$% con$|z|\le1$

Question

Estoy tratando de demostrar que para$z \in \mathbb C, |z|\le 1$:

ps

Pero estoy atascado y necesito ayuda. Mostré eso para todos$$|e^z -1| \le 2 |z|$:

$z$

pero no parece útil. Además,$|e^z -1| \le |z|e^{|z|}$ no parece útil.

¿Podría alguien mostrarme cómo se probaría esta desigualdad?

Answer 1

Deje$|z| \le 1$ y$N \in \Bbb N$. Entonces

ps

Dejar que$$ \left|\sum_{n = 1}^N \frac{z^n}{n!}\right| \le \sum_{n = 1}^N \frac{|z|^n}{n!} \le \sum_{n = 1}^N \frac{|z|^n}{2^{n-1}} \le |z| \sum_{n = 1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2|z|.$ resulte en

ps

Answer 2

$\frac {e^z - 1}{z}= 1 + z/2 + z^2/3! + \cdots .$ Para$|z|\le 1,$ el valor absoluto de esto es$\le 1 + 1/2 + 1/3! + \cdots = e - 1 <2.$

Answer 3

Tenemos $|z|\le 1$. $$ \sum_{n\ge 1} \frac{|z|^n}{n!} \desbordado{\text{?}}\le 2|z| $$ $$ \sum_{n\ge1} \frac{|z|^{n-1}}{n!} \desbordado{\text{?}}\le 2 $$ $$ \sum_{n\ge 2} \frac{|z|^{n-1}}{n!} \desbordado{\text{?}}\le 1 $$ $$ \frac{|z|} 2 + \underbrace{\frac{|z|^2} 6 + \frac{|z|^3} {24} + \frac{|z|^4}{120} + \cdots} \desbordado{\text{?}}\le 1 $$ Se puede mostrar que la parte sobre la $\underbrace{\text{underbrace}}$ está acotada arriba por una serie geométrica con primer término a $1/6$ y la razón común $1/4$? La suma de esta serie es la $2/9$ y el primer término de arriba es $\le 1/2$.

Answer 4

$g(z)=\frac{e^z-1}{z}$ es un mapa holomórfico en el disco de la unidad, por lo tanto, el lema de Schwarz :$$\forall z\in\mathbb{C}:|z|\leq 1,\qquad |g(z)-1|\leq |z|\tag{1} $ $ que implica:$$ \forall z\in\mathbb{C}:|z|\leq 1,\qquad |g(z)|\leq 1+|z|\tag{2} $ $ y finalmente:$$ \forall z\in\mathbb{C}:|z|\leq 1,\qquad |e^z-1|\leq |z|+|z|^2\tag{3} $ $ que es más fuerte de lo necesario.