Mostrar una función definida por una integral es medible por Borel.

Question

Deje $f: \left [ 0, 1 \right ] \times \left [ 0, 1 \right ] \rightarrow \mathbb{R}$ satisfacer:

1. $f_x\left ( y \right ):= f\left ( x, y \right ) : \left [ 0, 1 \right ]\rightarrow \mathbb{R} $ es Riemann integrable;
2. $f_y\left ( x \right ):= f\left ( x, y \right ) : \left [ 0, 1 \right ]\rightarrow \mathbb{R} $ es Borel medible.

Entonces demostrar que $g(x):=\int_{\left [ 0, 1 \right ]} f_x\left ( y \right ) dy$ es Borel medible.

He probado a considerar en primer lugar el teorema de Fubini. Sin embargo, no funciona debido a la condición de fallo. Más tarde traté de demostrar directamente de la definición de Borel de la mensurabilidad, y no va a ninguna parte más.

También, $f$ sí no puede ser medible en el producto de la medida; y la integrabilidad de Riemann no implica Borel de la mensurabilidad.

Por favor, ¿puedes darme algunos consejos o ideas? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Considere la secuencia de funciones medibles de Borel en$[0,1]$ dada por$$f_n(x) = \sum_{k=1}^{n} f\left (x,\frac{k}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}.$ $