Muestran que

Question

He sido la construcción de algunos ejemplos relacionados con armónicos esféricos. Quería saber el $L^2$ norma de la función $f(x,y,z) \in S^2 = \{ x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$. Wikipedia sugiere esta normalización:

$$ \int_{S^2} (xy)^2\, dS = \frac{4\pi}{15}$$

Hay derivaciones que no implican coordenadas esféricas? Estoy con la esperanza de un más algebraicas derivación. Tal vez va a utilizar coordenadas esféricas implícitamente.

\begin{eqnarray*} x &=& \cos \theta \cos \phi \\ y &=& \sin \theta \cos \phi \\ z &=& \sin \phi \end{eqnarray*}

Para los más pequeños términos del grado hay un truco. Me gustaría hacer la integral de $1$:

$$ \lvert\lvert\,1 \,\rvert\rvert^2 = \frac{1}{4\pi}\int_{S^2} 1 \, dS = 1$$

Los promedios de homogénea lineal de términos (o cúbicas de los términos) es cero. Cuadráticas tiene un truco:

$$ \lvert\lvert\,x \,\rvert\rvert^2 = \lvert\lvert\,y \,\rvert\rvert^2 = \lvert\lvert\z \,\rvert\rvert^2 = \frac{1}{4\pi}\int_{S^2} x^2 \, dS = \frac{1}{3} \frac{1}{4\pi}\int_{S^2} (x^2 + y^2 + z^2) \, dS = \frac{1}{3}$$

No creo que hay un truco para polinomios cuadráticos de 4to grado

Answer 1

Hay$x^2 y^2 + x^2 z^2 = x^2 (1 - x^2)$ y$dS = 2\pi dx$.

Answer 2

Mediante coordenadas esféricas o no,$$ I(k)= \iint_{S^2}(xy)^{2k}\,d\mu $ $ se reduce a un valor de la función Beta de Euler. Tenemos$$ \iint_{x^2+y^2=R^2}(xy)^{2k}\,d\mu=R^{4k+1}\int_{0}^{2\pi}\left(\cos\theta\sin\theta\right)^{2k}\,d\theta =2\pi R^{4k+1}\cdot\frac{1}{4^{2k}}\binom{2k}{k}$ $ por lo tanto$I(k)$ se puede calcular a partir del principio de Cavalieri. O

ps