Existencia de un mapa surjective continuo

Question

Tengo esta pregunta en un examen reciente. No he sido capaz de resolverlo. La pregunta dice así :

¿Existe un continuo surjective mapa de$\mathbb{R}^3\setminus \mathbb{S}^2$$\mathbb{R }^2\setminus \{0\}$?

Yo estaba desarrollando en una especie de ingenua de la moda, tratando de construir un adecuado mapa de $\mathbb{R}^3$ $\mathbb{R }^2$que se desvanece exactamente en la unidad de la esfera. Pero dudo de que será de ayuda. Aunque no estoy muy seguro creo que la afirmación es falsa y requerirá algún trivial uso de complicadas técnicas de la topología. Alguien me puede ayudar con algunos consejos?

Answer 1

Solo tenemos que asignar la bola de unidad abierta$B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2<1\}$ a$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$. La parte que está fuera de la unidad de bola$B$ se puede asignar a cualquier punto constante, excepto el origen de$\mathbb{R}^2$.

Primero, asigne la bola abierta 3D$B$ al disco abierto 2D$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<1\}$ por proyección:$f(x,y,z)=(x,y)$.

A continuación, asigne el disco abierto$D$ al semiplano derecho$\mathbb{R}^2_{x>0}$ por$$g(x,y)=\left(\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2},\frac{2y}{(1-x)^2+y^2}\right)$ $ que se inspira en la función compleja$z\mapsto \dfrac{1+z}{1-z}$

Finalmente, mapee$\mathbb{R}^2_{x>0}$ a$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ por$$h(x,y)=(x^3-3xy^2, 3x^2y-y^3)$ $ que está inspirado en la función compleja$z\mapsto z^3$.