Los valores exactos de $\cos(2\pi/7)$ $\sin(2\pi/7)$

Question

¿Cuáles son los valores exactos de $\cos(2\pi/7)$ $\sin(2\pi/7)$ y cómo puedo solucionarlo?

Sé que $\cos(2\pi/7)$ $\sin(2\pi/7)$ son las partes real e imaginaria de $e^{2\pi i/7}$ pero no estoy seguro de si eso me ayuda...

Answer 1

Hay varias formas de entender y atacar a su pregunta.

En el nivel más básico: no hay ningún problema para escribir un polinomio cúbico satisfecho por $\alpha = \cos(2 \pi/7)$ y golpear con Cardano cúbicos de fórmula. Por ejemplo, si la ponemos a $z = \zeta_7 = e^{2 \pi i/7}$,$2\alpha = z + \overline{z} = z + \frac{1}{z}$. Un poco de álgebra conduce a la polinomio $P(t) = t^3 + \frac{1}{2} t^2 - \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}$ que es irreducible con $P(\alpha) = 0$. (Tenga en cuenta que el no entera coeficientes de $P(t)$ implica que $\alpha$ no es un entero algebraico. En este sentido, la cantidad de $2 \alpha$ es mucho mejor educados, y a menudo es una buena idea trabajar con $2 \alpha$ en lugar de $\alpha$.) A ver lo que se obtiene al aplicar la fórmula de Cardano, consultar las otras respuestas o simplemente google: por ejemplo, rápidamente encontré esta página, entre muchos otros (como wikipedia) lo que hace.

La expresión es una especie de lío, lo que le da la idea de que tener estos explícita expresiones radicales para que las raíces de la unidad, relacionado con cantidades como los valores del seno y coseno) en realidad no puede ser tan útil: si yo quisiera calcular con $\alpha$ (y que se ha llegado en mi trabajo!) Yo no se nada de esta fórmula que no me de $2 \alpha = \zeta_7 + \zeta_7^{-1}$ o el mínimo polinomio $P(t)$.

Por otro lado, si usted sabe algo de la teoría de Galois, usted sabe que el grupo de Galois de cada cyclotomic polinomio es abelian, por lo que debe existir una expresión radical de $\zeta_n$ cualquier $n \in \mathbb{Z}^+$. (Por lo general, no ser capaz de salirse con sólo repetidamente la extracción de raíces cuadradas; que sólo podría ser suficiente a la hora de Euler totient función de $\varphi(n)$ es una potencia de $2$, por ejemplo, ni siquiera cuando se $n = 7$.) Desde esta perspectiva, la aplicación de la cúbico fórmula es un gran copout, ya que no hay ninguna fórmula análoga en el grado $d > 4$: el general polinomio de un grado tal que no pueden resolver por radicales...pero cyclotomic polinomios puede.

Así que, ¿qué hacer en general? La respuesta fue conocido a Gauss, y supone una clásica álgebra -- resolvents, Gaussiano períodos, etc. -- que no es muy bien recordado hoy en día. De hecho, nunca he ido a través de los detalles del mismo. Pero miro alrededor en la web por un tiempo en busca de un buen tratamiento, y finalmente he encontrado esta valoración crítica de Paul Garrett. Se lo recomiendo a aquellos que quieren aprender más acerca de este (no tan útil, que yo sepa, pero interesante) problema clásico: sus notas son siempre excelentes, y tienen la virtud de concisión (que admiro sobre todo por falta de capacidad para producir yo mismo).

Answer 2

$\cos2\pi/7$ es una raíz de una ecuación cúbica con coeficientes enteros. Usted puede encontrar que cúbicos mediante el uso de $\cos\theta=(1/2)(e^{i\theta}+e^{-i\theta})$, calcular el cuadrado y el cubo, y buscando lineal de las relaciones, teniendo en cuenta que el $7$ $7$th raíces de la unidad suman cero. A continuación, puede utilizar la fórmula de Cardano para resolver el cúbicos. No sé si me recomiendan hacer en realidad todo esto - estoy seguro de que usted consigue un lío, aunque el discriminante será un cuadrado perfecto, de manera que obtendrá la simplificación allí.

Answer 3

Hay un pequeño problema si quieres expresar $\cos(2\pi/7)$ en términos de los radicales. Como Gerry Myerson escribió, es una raíz de un grado $3$ polinómica ($e^{2\pi i /7}$ es una raíz de $x^6+x^5+\dots+1=0$, $\cos(2\pi/7)=y=(x+x^{-1})/2$, que da $8 y^3+4 y^2-4 y-1 = 0$). Que el polinomio ($8 y^3+4 y^2-4 y-1$) es irreducible ( $\mathbb{Q}$ ) y tiene raíces reales (es decir,$\cos(2\pi/7),\cos(4\pi/7),\cos(6\pi/7)$). Hay un famoso teorema (casus irreducibilis) diciendo que las raíces del polinomio no puede ser expresado mediante real radicales. Así que usted necesitará los números complejos en su fórmula para $\cos(2\pi/7)$.

(La fórmula de Cardano da $$y= -1/6+7^{2/3}/(3\times 2^{2/3} (1+3 i \sqrt{3})^{1/3})+ (7/2\times (1+3 i \sqrt{3}))^{1/3}/6 $$ - calculada por Wolfram Alpha)

Answer 4

Está usted seguro de que no es un "exacto" valor? Bueno, depende de a qué te refieres por exacta. Mi punto es que no creo que heptagons son construibles con regla y compás, lo que significa que, si recuerdo correctamente, que el seno y coseno no puede ser expresado como la suma de fracciones y raíces cuadradas de las fracciones.

Sé $\cos\dfrac{2\pi}{17}$ es un valor conocido, tal vez eso es lo que quiso decir.

Answer 5

Llegué a una ecuación de tercer grado del polinomio a continuación):

$$\binom71 x^3 - \binom73 x^2 + \binom75 x - \binom77 = 0\;.$$

Los ceros se $ x_1= \cot (\pi/7)^2, x2= \cot (2\pi/7)^2$$x_3=\cot(3\pi/7)^2$.

Espero que esto ayude. Llegué a una respuesta a esta problema después de la solución del anterior polinomio cúbico. Esto se llevó a algún tiempo, pero la respuesta no fue muy complicado.