¿Es posible probar lo siguiente mediante inducción matemática? Si es así, ¿cómo?
$a\in \mathbb{Z} \Rightarrow 3$ | $(a^3-a)$
Debo decir que no, porque en mi escuela siempre dijeron que la inducción matemática solo es posible en$\mathbb{N}$. Pero nunca hice algunas preguntas sobre por qué solo es posible en$\mathbb{N}$ ...
En esta pregunta en particular, se puede considerar en dos casos separados, primer caso de $a \ge 0$ y el segundo caso para $a < 0$.
Caso $a \ge 0$: vamos a comprobar si $3 | (a^3-a)$ o no por el uso de la inducción en $a$. Para$a = 0$,$3|0$. Ahora supongamos $a \ge 1$, y para todos los $a$, el argumento sostiene. A continuación, para $a+1$, tenemos $$(a+1)^3-(a+1) = a^3+3a^2+2a = (a^3-a)+3a^2+3a$$ where $3|(a^3-a)$ by inductive assumption and $3|(3a^2+3a)$ obviously. Therefore, by induction, it holds for all $\ge 0$.
Caso $a < 0$: Si se definen $b=-a$, en este caso se vuelve $3|(-b^3+b)$ donde $b > 0$ así que de nuevo, puede utilizar la inducción en $b$ como la inducción de números naturales. La prueba de este caso es similar a la del primer caso.
De esta manera, usted puede cubrir todos los enteros mediante una inducción sobre los números naturales.
Técnicamente necesitas hacer dos inducciones separadas. Pero como$(-a)^3-(-a)=-(a^3-a)$, solo necesita tomar la inducción en la dirección positiva ordinaria. Si desea hacer ambas inducciones, puede combinarlas en un único argumento, en las siguientes líneas:
El caso base es$3\mid0^3-0$, y
ps
entonces$$(a\pm1)^3-(a\pm1)=(a^3\pm3a^2+3a\pm1)-(a\pm1)=(a^3-a)\pm3a^2+3a$ implica$3\mid(a^3-a)$.
A la pregunta de "Si es así, entonces ¿cómo?", ha sido contestada correctamente ya. Esta respuesta sólo trata acerca de la pregunta "es la inducción posible aquí?"
La inducción puede ser aplicado en un conjunto, si el conjunto de los involucrados está equipado con un llamado bien de la orden.
Esencial es que en esa situación en la que todos los no-vacío subconjunto del conjunto tiene al menos un elemento.
Tenga en cuenta que $\mathbb N$ tiene una muy natural, bien de orden: $0<1<2<\cdots$.
El famiar y bien conocido el fin de $<$ $\mathbb Z$ no es un bien de orden. Uno de los no-vacío establece que no menos del elemento de acuerdo a ese orden es $\mathbb Z$ sí, y hay un montón de otros.
Por esa razón, en la escuela le enseñaron que la inducción no era para $\mathbb Z$.
Se pasa por alto es que hay bien-pedidos en $\mathbb Z$ también.
Así que si quieres probar por inducción que $3\mid a^3-a$ por cada $a\in\mathbb Z$, a continuación, en primer lugar, usted debe dotar a $\mathbb Z$ con una adecuada bien de la orden.
Uno (hay más) que pueden ser utilizadas para esto es:
$$0<'1<'2<'3<'\dots<'-1<'-2<'-3<'\dots$$
Si $P(a)$ es cierto iff $3\mid a^3-a$ es suficiente para probar que:
Debo decir que es más que suficiente (véase el comentario de Hagen).
Si usted ha hecho que luego, por inducción, se demostró que el $P(n)$ es verdadero para todos los $n\in\mathbb Z$.
El principio de la inducción en $\mathbb{N}$ dice: suponiendo que una propiedad tiene por $0$, y que si se mantiene por $n$ entonces se mantiene para $n+1$, entonces la propiedad es verdadera para todos los elementos de a $\mathbb{N}$. El principio es porque todos los elementos de a $\mathbb{N}$ puede ser alcanzado a partir de $0$ y la aplicación de la operación $n \mapsto n+1$ un número finito de veces.
Vamos a hacer esto un poco más abstracto. Suponiendo que una propiedad se cumple para la natural inicial ($0$), y que si se mantiene de forma natural, entonces también se cumple para la próxima natural ($n+1$), entonces se cumple para todos los productos naturales.
Podemos generalizar esto a otros dominios de $\mathbb{N}$ por la generalización de las nociones de "inicial" y "siguiente". Suponga que todos los elementos de un conjunto $D$ puede ser alcanzado a partir de algún elemento inicial y mediante la aplicación de una "derivación" de la operación de un número finito de veces. Suponiendo que una propiedad se cumple para todos los elementos iniciales, y que si se mantiene por un elemento, a continuación, también tiene un elemento derivado, entonces la propiedad se mantiene para todos los elementos.
Aplicación: todos los relativos de los números enteros ($\mathbb{Z}$) se puede llegar a partir de $0$ (el único elemento inicial) y la aplicación de una de las operaciones de $n \mapsto n+1$ o $n \mapsto n-1$ un número finito de veces. Por lo tanto, el siguiente principio de la inducción tiene en $\mathbb{Z}$: suponiendo que una propiedad tiene por $0$, que si se mantiene por $n$ entonces se mantiene para $n+1$, y que si se mantiene por $n$ entonces se mantiene para $n-1$, entonces la propiedad se mantiene para todos los elementos de a $\mathbb{Z}$.
Dado este principio, lo que demuestra la propiedad que desea es una simple modificación de la prueba en $\mathbb{N}$.
Es posible generalizar esta más por la generalización de la noción de "derivación". Un elemento puede ser derivada a partir de múltiples argumentos. Se supone que hay una familia de constructor de operaciones de $c_i : D^{a_i} \to D$, donde cada constructor puede tomar un número diferente de parámetros, de tal manera que todos los elementos de a $D$ puede ser alcanzado mediante la aplicación de los constructores. El punto de partida viene de constructores con 0 argumentos. A continuación, hay un principio de inducción en $D$, lo que indica que, suponiendo que para cada constructor $c_i$, si la propiedad se mantiene para $(x_1,\ldots,x_{a_i})$ entonces se mantiene para $P(c_i(x_1,\ldots,x_{a_i}))$, entonces la propiedad se mantiene para todos los elementos de a $D$. El principio de inducción para $\mathbb{N}$ es un caso especial con dos constructores: $0$ (con 0 argumentos) y $n \mapsto n+1$ (con 1 argumentos). El principio de inducción para $\mathbb{Z}$ agrega un tercer constructor $n \mapsto n-1$. Se podría añadir un cuarto constructor con dos argumentos $(p,q) \mapsto \begin{cases} p/q & \text{if }q \ne 0 \\ 0 & \text{if } q = 0 \end{cases}$ para obtener un principio de inducción para $\mathbb{Q}$.
Es posible generalizar aún más para conseguir la inducción de principios sobre los "grandes" espacios " (que no necesita ni siquiera contables). Ver drhab la respuesta.
Técnicamente, la inducción es una técnica que se aplica a los números naturales.
Sin embargo, no hay nada que te impida tener dos declaraciones de aplicar a los números naturales que puedes probar por separado, pero muy al igual:
Podemos aplicar la inducción para demostrar $P$ $Q$ para todos los números naturales. Entonces, cuando viene a mostrar que la $P$ mantiene para todos los números enteros, simplemente se nota que $P(n) \equiv Q(-n)$, lo que para cualquier entero $k$, si es posible, entonces la verdad de $P(k)$ proviene de la inducción en $P$, mientras que si $k$ es negativo, la verdad de $P(k)$ es el mismo como la verdad de $Q(-k)$, lo que fue demostrado por inducción en $Q$.
Generalmente, sin embargo, este teórico de la maquinaria es paliada mediante la demostración de $P$ para el caso base $n = 0$ (ya que es el mismo caso tanto de la $P$$Q$) y, a continuación, decir que estamos usando inducción en "ambas direcciones" para demostrar que $P$ es válida para todos los enteros $n$.
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