Prueba de inducción matemática que$f(n)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}(-1)^n$

Question

La función$f(n)$ para$n=0,1...$ tiene la definición recursiva$$f(n)= \begin{cases} 2 & \text {for n=0} \\ -f(n-1)+1 & \text{for n=1,2...} \end{cases}$ $ Pruebe por inducción que la siguiente ecuación es válida:$$f(n)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}(-1)^n$ $

Entonces, comienzo comprobando que el paso básico se cumple

1. $f(0)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}(-1)^0=2$ OKAY
2. Supongamos que la ecuación se cumple para un$n$
3. Muestre que n +1 contiene:$f(n+1)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}(-1)^{n+1} \Rightarrow f(n+1)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}(-1)^{n} \cdot (-1) = -f(n)-\frac{1}{2}$

Me quedo un poco atrapado aquí. Algún consejo sobre cómo debería abordar esto?

Answer 1

Bueno, te has acercado para probar la forma correcta de$f(n+1)$. Entonces solo necesitamos hacer un paso más. Tenga en cuenta que:$$f(n+1)= \frac12+ \frac32(-1)^{n+1}= (1)-(\frac12 +\frac32(-1)^n) =1-f(n)$$ proving that $ f (n +1) $ también es verdadero. ¡La prueba está así terminada!

Answer 2

ps

Answer 3

Tu último paso está cerca, pero no del todo

ps

Answer 4

$f(n)=1-f(n-1)$. Queremos mostrar que

ps

$$f(n+1)=1-f(n)=1-[1-f(n-1)]=f(n-1)$

$f(n+1)=\frac{1}{2} - \frac{3}{2}(-1)^n $. Multiplique esta igualdad$f(n-1)= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}(-1)^{n-1}$, luego

$-1$. Por lo tanto obtenemos

$-f(n-1)= [\frac{1}{2} + \frac{3}{2}(-1)^{n-1}](-1)=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}(-1)^n$