La desmitificación de las matemáticas: ¿Cómo alguien que podría haber llegado con homología singular?

Question

Estoy teniendo problemas con la búsqueda de la mejor intuición de la homología como a veces soy capaz de encontrar por otros temas, que es cómo alguien podría haber llegado con él.

La lectura de la historia de la homología no me satisfacía, me preguntaba si alguien me podría ayudar con esto. (Las otras respuestas en las matemáticas de cambio no son realmente lo que estoy buscando, de alguna manera asumen ya sabemos lo que la homología de grupos).

Me encantaría una respuesta que es la homología como los cortos (sobre todo porque yo no puedo pensar de largo) ilustran el tipo de motivación que más me gusta:

1. Homotopy: está claro Que es interesante ver los mapas de $S^1$ a nuestro espacio aspecto. Después de algún pensamiento, nos damos cuenta de que podemos imponer una estructura de grupo si se corrige el punto de base, pero lo que realmente queremos? Umm tipo de nos atascamos de otra manera, vamos a fijar un punto de base para hacer las cosas más simples, de hecho también vemos (detalles a la izquierda) después de pensar que no importa que uno, si el espacio está conectado!

   Bueno, vamos a tomar un ejemplo sencillo, como la plaza, umm bueno, esto ya es muy complicado, pero nosotros no queremos eso, desde la plaza de la deformación se retrae a un punto así que queremos cosas como que para ser simple. Bueno por lo que en realidad queremos mapas de $S^1$ hasta homotopy, y nuestro grupo está todavía funciona, y no se nos han dado una motivación para la definición de homotopy grupo.

2.Discreta finita de fourier base: odiamos la base regular, queremos ortonormales cosas!!! Sabemos que si queremos multiplicar polinomios teorema de la convolución existe (que es como se consigue multiplicación rápida), tal vez esto es cierto en general? Sí!

Esperemos que esto hizo que el tipo de motivación que estoy buscando clara. Yo soy incapaz de encontrar uno de homología :(.

Entiendo que lo primero que quiere superior homotopy grupos, pero a su vez a ser duro, así que la próxima cosa es que obviamente es interesante cómo los mapas de $[0,1]^n$ a nuestro espacio, y con un poco de un tramo puedo creer queremos álgebra lineal\todo el grupo, por lo que consideramos finito de sumas de los mapas, y a partir de razones técnicas podemos encontrar más adelante es más fácil trabajar con los mapas del simplex.

Sin embargo, esto todavía deja abierta cómo nos puede venir para arriba con los mapas de los límites, o por qué se consideran los grupos de homología (entiendo que en un extraño sentido de que la medida de los agujeros, incluyendo la primera de homología es la abelinzation de la fundamental), pero me gustaría más convincente de cómo alguien podría pensar que esto es como el "evidente" el siguiente paso (aunque históricamente soy consciente de que esto no era el caso, es más fácil para mí encontrar una explicación, por supuesto, con retrospectiva que hace de este el siguiente paso obvio).

edit: yo, por supuesto, no es necesario que la respuesta sea una continuación de lo que empezó acerca de homología, un montón de veces buenos ejemplos (si usted puede demostrar cómo alguien podría venir de la fórmula de Euler para homología) generalizar bien para dar una buena motivación, pero no he exactamente entender cómo funciona este es el caso aquí.

Answer 1

Sé que esta respuesta va difieren un poco de las topológico sabor de la pregunta original - pero yo pensé en compartir algunos pensamientos sobre cómo alguien "podría haber" llegado con álgebra homológica de una expresión algebraica punto de vista.

Así, supongamos que usted tiene una corta secuencia exacta $0 \to A \to B \to C \to 0$ de, digamos, $R$-módulos; entonces usted tiene un morfismos $f : U \to C$, y se desea determinar si existe una elevación de este morfismos a un morfismos $\tilde f : U \to B$. (Si lo desea, usted puede suponer que $R$ es Noetherian, y cada módulo es finitely generado.) Una vez que te das cuenta de que esto no es siempre posible, pero es posible si $U$ es un servicio gratuito de $R$-módulo, entonces usted puede comenzar a investigar cómo determinar de $U$ ¿qué tipo de "obstrucciones" existen para la construcción de un mapa de elevación.

Por lo tanto, podría empezar por tomar un conjunto de generadores de $U$, y, a continuación, pruebe a asignar a cada generador de $x$ a algunos preimagen de $f(x)$$B$. Ahora, la razón por la que esto no siempre funciona es que también hay relaciones en $U$, y cada una de estas relaciones tiene que asignar a cero en $B$. Por otro lado, todo lo que realmente sabemos de ser dado que el $f$ es un bien definido de morfismos es que se asignan a cero en $C$; por lo que desde la corta secuencia exacta, podemos concluir que las imágenes de las relaciones en $B$ son en realidad en $A$.

Para formalizar esto, podemos dejar que la $F^0$ ser el libre $R$-módulo generado por los generadores de $U$, y, a continuación, deje $F^1$ ser el libre $R$-módulo generado por un símbolo para cada "relación" entre estos generadores. Esto le da al inicio de una resolución libre de $U$, $F^1 \to F^0 \to U \to 0$. Ahora, el argumento de que el párrafo anterior da una morfismos en $\operatorname{Hom}(F^1, A)$. Sin embargo, sólo porque este mapa puede ser distinto de cero para algunos la elección no necesariamente significa que estamos condenados: si podemos encontrar un mapa en $\operatorname{Hom}(F^0, A)$ que compone a dar nuestro mapa en $\operatorname{Hom}(F^1, A)$, entonces podemos restar ese mapa de nuestro candidato a la mapa $F^0 \to B$ a arreglar en un mapa de $F^0 \to B$, lo que induce una bien definida mapa de $\tilde f : U \to B$; y debido a que la corrección de mapa de imagen contenida en $A$, no afecta a las imágenes de los generadores de $U$$C$.

Por lo tanto, se puede construir un objeto de clasificar las obstrucciones como $\mathscr{O} := \operatorname{Hom}(F^1, A) / \operatorname{im}(\operatorname{Hom}(F^0, A))$, junto con una "obstrucción de la clase" mapa de $\operatorname{Hom}(U, C) \to \mathscr{O}$. No es demasiado duro para demostrar que un mapa en $\operatorname{Hom}(U, C)$ puede ser elevada a un mapa de $\operatorname{Hom}(U, B)$ si y sólo si sus obstrucción de la clase es igual a cero, dando un solo elemento de extensión de la secuencia exacta que usted recibe de la izquierda exactitud de $\operatorname{Hom}(U, \cdot)$: \begin{equation} 0 \to \operatorname{Hom}(U, A) \to \operatorname{Hom}(U, B) \to \operatorname{Hom}(U, C) \to \mathscr{O}. \end{equation} Es posible que también hemos notado que la construcción de la $\mathscr{O}$ sólo depende de $A$ y en la resolución de $U$, por lo que podría darle algún nombre como $\operatorname{Ext}^1(F^\cdot, A)$.

Ahora, desde aquí, usted podría preguntarse si esto se extiende a $\operatorname{Ext}^1(F^\cdot, B)$. Como resulta que, utilizando nuestra definición que no se extienden a los largo de la secuencia exacta; sin embargo, a partir de aquí, no es mucho de un tramo a imaginar inteligente investigador darse cuenta de que si se amplía la resolución libre y tomar el subobjeto $\ker(\operatorname{Hom}(F^1, A) \to \operatorname{Hom}(F^2, A))$ y, a continuación, hacer lo mismo cociente, entonces la secuencia se extiende a una larga secuencia exacta de los seis objetos. Y por otra parte, que una vez hecho esto, el resultado es independiente de la elección de la libre resolución de $U$. A partir de aquí, el siguiente paso de la definición de $\operatorname{Ext}^i(U, A) := \ker(\operatorname{Hom}(F^i, A) \to \operatorname{Hom}(F^{i+1}, A)) / \operatorname{im}(\operatorname{Hom}(F^{i-1}, A) \to \operatorname{Hom}(F^i, A))$ y conseguir un infinito largo de la secuencia exacta no es mucho de un salto más allá de eso.

Esto refleja un tema general en la (co)homología de la teoría: que un $H^1$ o $H_1$ objeto está a menudo estrechamente relacionados, a través del primer mapa de los límites, a una clase de obstáculos a hacer algunos "elevación" o "pegar" de la construcción.

Answer 2

Singular homología surgió por la búsqueda muy, muy, muy, muy duro para una mejor prueba de la invariancia topológica de homología simplicial. Ya se sabe que si $X$, $Y$ son homeomórficos simplicial complejos, a continuación, su homología simplicial grupos son isomorfos; la prueba fue por algo llamado el "simplicial teorema de aproximación". Una mejor prueba de que era necesario, que no sería tan herida hasta en los detalles de simplicial complejos, y mejor aún daría un invariante topológico que, cuando se aplica a un complejo simplicial, es isomorfo a la homología simplicial. La búsqueda fue exitosa, y la que resulta invariante topológico era singular de homología.

Answer 3

Responder cómo el límite de operador es una cosa natural a considerar en la homología: Homología (singular, simplicial, y, en menor medida, celulares), básicamente, pregunta si se puede, dado un $n$-esfera en un espacio de relleno, en la esfera para hacer una $(n+1)$-ball. Es algo muy natural, intrínseca a buscar el camino para "agujeros" en el espacio.

Reformular, estamos preguntando si algo mirando como el límite de una $(n+1)$-ball en realidad es el límite de una bola. ¿Cómo podemos decir que algo se ve como el límite de una pelota? Que es $n$-dimensional, no tiene límite de sí mismo, y es orientable (que puede ser tomada con cuidado por dar una señal a la frontera del operador) es un buen comienzo.

Que resulta ser más o menos lo suficiente como así. Una cosa que cumple con estos criterios, podría parecer que no es el límite de una esfera (que podría ser un toro, por ejemplo). Pero lo que parece que el límite de que la cosa puede estar pegados de bolas. Y debido a la convención de signos en el límite del operador, en los lugares donde las bolas de contacto, los límites de cada uno de ellos se anulan. Así, mientras que lo que vamos a estudiar por la descripción anterior no es necesariamente bolas y esferas, que siempre puede ser construido a partir de bolas y esferas.