Hace $\lim_{n\rightarrow \infty} \left(r+\frac{1}{n^2}\right)\uparrow \uparrow n=e$ ¿se mantiene?
A partir de esta respuesta, utilizamos la aproximación tangencial de Gerald Edgar para iterar $z \mapsto \exp(z)-1+\epsilon$ como congruente con la iteración $y \mapsto b^y$ donde $\epsilon=\ln(\ln(b))+1;\;\;\;y=(z-\epsilon+1)/\ln(b).\;$ Una aproximación para epsilon es $$\epsilon \approx (b-\eta)\frac{e}{\eta}+\mathcal{O}(b-\eta)^2\;\;\;\text{where}\;\;\;\eta=\exp(1/e)$$
La ecuación de Edgar para iterar $f(z)=\exp(z)-1+\epsilon\;$ da la aproximación $$a=\sqrt{\epsilon/2};\;\;\;f^{\circ n} \approx 2a\tan(an-\frac{\pi}{2})+\epsilon$$
A partir de ahí, esta es la ecuación de aproximación de Tetration que obtengo: $$\text{tet}_b(x)\approx \frac{\left( 2a\tan\left(a(x+3)-\frac{\pi}{2}\right)-\epsilon+1\right)}{\ln(b)}$$ A medida que epsilon se acerca a cero, esta aproximación sexp tiene $\text{sexp}(-1)\approx 0$ que es conveniente.
Así que podemos aplicar esta ecuación con bastante facilidad al ejemplo de Op, $$b=\eta+10^{-20};\;\;\;\text{tet}_b(10^8)\approx e -5.436393\cdot 10^{-8} $$
Quería cuantificar el error para el ejemplo de Op's Tetration de la forma más ajustada posible y pude hacerlo utilizando el término de error slog. La inversa de la tetración es el slog. El slog_approx puede generarse a partir del $\tan^{-1}$ función. Llamemos al término de error slog para esta ecuación $$\text{error}_b(x) =\text{slog_approx}(x)-\text{slog_exact}(x)$$
¡Entonces, empíricamente, observamos el máximo término de error de slog, que se encuentra en el punto de inflexión cerca de e! Aunque el error sexp absoluto está en un mínimo local cerca del punto de inflexión en e, el error slog está en un máximo en el punto de inflexión. El término de error del slog mide en cuántas iteraciones se desvía el slog para varios valores de épsilon. Aquí están los términos de error máximos para epsilon (definido arriba) para varias bases de tetración.
epsilon=10^-2 max-err=0.5143557
epsilon=10^-3 max-err=0.8984021
epsilon=10^-4 max-err=1.2821615
epsilon=10^-5 max-err=1.6659268
epsilon=10^-6 max-err=2.0496911
epsilon=10^-7 max-err=2.4334552
epsilon=10^-8 max-err=2.8172194
epsilon=10^-9 max-err=3.2009836
epsilon=10^-10 max-err=3.5847478
epsilon=10^-11 max-err=3.9685120
epsilon=10^-12 max-err=4.3522762
max-err ~- -0.252988158 + 0.383773297*log_10(b)
Este es un gráfico de términos de error para $\epsilon=10^-10;\;\;\;b=\eta+2.258441\cdot 10^{-10}$ Obsérvese que el error de slog es cero en slog(0) y luego crece lentamente hacia el máximo cerca de e, y luego vuelve a ser pequeño cerca de slog(2e) donde el término de error es ~=0,09 La región del gráfico cubre un total de 444283 iteraciones de $x \mapsto b^x$ . La "ampliación del detalle" del error de slog cubre las iteraciones 1147..443129 que todavía incluye el ~99,5% de las iteraciones enteras.
![error term for slog(x)]()
Para b=10^-20 predecimos un error de slog máximo de 7,317 iteraciones. Por lo tanto, si se itera ocho veces, obtenemos un límite superior para la tetralogía de Op. $$z1 = e - 5.43639300244546\cdot 10^{-8};\;\;\;z2=b^{b^{b^{z1}...}}\;\;\;\text{eight iterations of }\; z\mapsto b^z$$ $$z2 = e - 5.43639256750679\cdot 10^{-8}$$
La respuesta exactamente correcta se encuentra en algún punto entre los dos valores; tanto z1 como a2 son precisos con más de 6 dígitos decimales, como pide el operador, ya que los dos valores sólo difieren en aproximadamente $z2-z1 \approx 4.35 \cdot 10^{-15}$ $$z1 < \;\;(\eta+10^-20)\uparrow\uparrow 10^8\;\;<z2$$ .
2 votos
Creo que la etiqueta de cálculo debería sustituirse por algo más parecido a numérico y computacional.
0 votos
Existe una serie asintótica formal no convergente para la función de Abel para el caso parabólico; multiplicador en el punto fijo=1; la solución formal es por Ecalle.
0 votos
@SheldonL Hola, ya me he dado cuenta de que tienes una visión profunda de este tipo de recursión. ¿La fórmula asintótica que presentaste en una pregunta relacionada también ayuda aquí?
1 votos
Publicaré la serie más tarde cuando esté en un ordenador. Hay conexiones pero lo que publiqué el otro día es diferente.
0 votos
En un principio leí mal su pregunta; en un principio pensé que estaba interesado en la base exacta $\eta=\exp(1/e);\;\;\;\eta\uparrow\uparrow n$ Usted está interesado en $\eta+\epsilon$ , por lo que entonces la aproximación tangente de math.stackexchange.com/questions/2558545/ es el mejor que conozco. Pero no conozco los términos de error en la serie tangente. Conozco las iteraciones para aproximar Pi, pero ¿qué pasa en el punto medio? Para el punto medio, el término de error es un poco más grande, pero seis dígitos decimales no sería un problema
0 votos
@SheldonL En particular, quiero saber el valor $n$ (lo más exacto posible) para que $x\uparrow \uparrow n>e$ . ¿Qué es, por ejemplo, para $x=e^{e^{-1}}+10^{-20}$ ? Si duplicamos esto $n$ , obtenemos un valor lo suficientemente grande como para que unos "pocos n más" produzcan un valor realmente grande.