Deje $\|\cdot\|$ ser una norma en $\mathbb R^2$. Demostrar que el perímetro de la unidad cerrada de bolas es entre el$4$$12$.

Question

Deje $\|\cdot\|$ ser una norma en $\mathbb R^2$. La longitud de una línea poligonal es dada por esta norma. Deje $A$ ser no vacío acotado parte convexa de $\mathbb R^2$. El perímetro de $A$ se define como el límite superior de los perímetros de los polígonos convexos incluido en $A$. Demostrar que el perímetro de la unidad cerrada de bolas es entre el$4$$12$.

No muy familiarizado con la geometría, yo no ver cómo lidiar con este problema a partir de un examen oral (si no marco la unidad de la bola con polígonos). Si tienes una idea ...

Tenga en cuenta que la norma no es necesariamente euclidiana (es decir, la cuestión de un producto escalar).

Answer 1

Deje $u$ ser un punto en el límite de $\partial B$ de la unidad de la bola de $B$ de una norma en $\mathbb R^2$. A continuación, $\partial B$ y el límite de $u+\partial B$ de la unidad de la bola con el centro $u$ corta (por ejemplo, por el Teorema del Valor Intermedio). Deje $v$ ser un punto en la intersección. Entonces $u$, $v$, $v-u$, $-u$, $-v$, $u-v$ son 6 puntos en este orden, en el límite, con los sucesivos puntos de distancia $1$ aparte. Se subdividen $\partial B$ a 6 arcos, cada uno de longitud (en la norma), de al menos $1$. Esto muestra que la longitud de $\partial B$ al menos $6$.

Siguiente, entre todos los $u,v\in\partial B$, elige dos para que el área de $\det(u,v)$ del paralelogramo con vértices set $\{o, u, v, u+v\}$ está maximizada. A continuación, la línea a través de $u$ paralelo a $v$ apoya a $B$ $u$ (de lo contrario $\det(u,v)$ podría ser mayor) y la línea a través de $v$ paralelo a $u$ apoya a $B$$v$. De ello se desprende que el paralelogramo $P$ con vértices $\pm u\pm v$ contiene $B$ y subdivide $B$ a $4$ partes. Una de las partes es el arco de $\partial B$$u$$v$, que se encuentra en el casco convexo de $o, u, u+v, v$. Se puede demostrar (con el triángulo de la desigualdad) que la longitud del arco de $\partial B$ $u$ $v$es en la mayoría de la longitud del arco correspondiente de $\partial P$, que se compone de dos segmentos de $[u,u+v]$$[u+v,v]$, y por lo tanto tiene una longitud de $2$. De ello se deduce que la longitud de $\partial B$ es en la mayoría de las $8$.

Comentarios

1. Estos dos límites se demostró por primera vez por Stanislaw Golab en 1932. También se puede encontrar en el Capítulo 4 de el libro de Thompson Geometría de Minkowski.
2. El resultado también puede ser demostrado por la elección de $P$ a ser un paralelogramo de área mínima que contenga $B$.
3. No hay, hasta isometría, sólo una norma donde la longitud de la unidad de la bola es $6$, es decir, cuando se $B$ es un afín hexágono regular.
4. No hay, hasta isometría, sólo una norma donde la longitud de la unidad de la bola es $8$, es decir, cuando se $B$ es un paralelogramo.
5. Véase mi estudio con Martini y Weiß por un elemental prueba de la desigualdad de triángulo que si un arco convexo $\gamma$ $a$ $b$está contenida en el triángulo $\triangle abc$, entonces la longitud de $\gamma$ es en la mayoría de las $\|a-c\|+\|b-c\|$. Thompson demuestra indirectamente el uso de un área de argumento.

Referencias

S. Golab, Algunas métricas problemas en la geometría de Minkowski (polaco. Francés resumen), Prace Akademii Górniczej w Krakowie 6 (1932), 1-79.

H. Martini, K. J. Swanepoel, y G. de White, La geometría de Minkowski los espacios de una encuesta. La Parte I, Expositiones Mathematicae 19 (2001), 97-142.

A. C. Thompson, De La Geometría De Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

Answer 2

w.l.g. normalizar la norma que $||(1,0)|| = 1$, y tome $a,b>0$ tal que $||(1/2,a)|| = 1$$||(0,b)||=1$, entonces podemos considerar los siguientes paralelograms (con lados paralels a los ejes):

Polígono $P_1$: tal que sus esquinas son $\{(1/2,a), (-1/2,a), (-1/2,-a), (1/2,-a)\}$.

Polígono $P_2$: tal que sus esquinas son $\{(1,b), (-1,b), (-1,-b), (1,-b)\}$.

A continuación, observe que la bola de radio de una $\mathbb{B} \subset \mathbb{R}^2$ satisface $$ P_1 \subset \mathbb{B} \subset P_2$$

Para probar esto, sólo tiene que utilizar la convexidad de los conjuntos.

Aviso que desde $||(1/2,a)|| = 1$$||(1/2,0)|| = 1/2$, el empleo de la desigualdad triangular podemos demostrar que $1/2 \leq ||(0,a)||$. Por lo tanto, el perímetro de $P_1$, que está compuesto de 4 trazos, se puede estimar como: $$\text{Perim} (P_1) = 4 ||(1/2,0)|| + 4||(0,a)|| \geq 4\cdot 1/2 + 4\cdot 1/2 = 4$$

De igual manera, con $P_2$, su perímetro puede ser calculada como $$\text{Perim}(P_2) = 4||(1,0)|| + 4||(0,b)|| = 8$$.

Así hemos demostrado que $$ 4 \leq \text{Perim}(\mathbb{B}) \leq 8 \leq 12 $$