Cómo representar el ingenuo PGL functor?

Question

Deje $k$ ser un campo. Considerar el functor

$F : \mathrm{Alg}(k) \to \mathrm{Set}, ~ R \mapsto \mathrm{GL}_n(R) / R^*$

[Puede llamar a esta $\mathrm{PGL}_n^{\text{naive}}$, ya que hace no coinciden en la correcta $\mathrm{PGL}_n = \mathrm{GL}_n / \mathbb{G}_m$ - sólo en local $k$-álgebras. Véase también Milne secuencia de comandos en algebraicas grupos, Ejemplo I. 9.5. Pero esto no es realmente relevante para esta cuestión]

Yo reclamo que $F$ es representable por Freyd del criterio de representatividad (Mac Lane, Categorías para el Trabajo Matemático, Teorema V. 6.3): es fácil comprobar que $F$ conserva todos los límites. Cada conjunto de soluciones para $\mathrm{GL}_n$ es también uno de $F$, pero $\mathrm{GL}_n$ es incluso representable.

Pregunta. La que se concreta la $k$-álgebra representa el $F$?

Edit. Creo que puede deletrear la prueba del Teorema en este caso especial: Considerar la categoría de $\int F$ de los elementos de $F$: los Objetos son pares de $(R,s)$ donde $R$ $k$- álgebra y $s \in F(R)$. Una de morfismos $(R,s) \to (R',s')$ es un mapa de $k$-álgebras $R \to R'$ que se asigna a $s \mapsto s'$. Ahora $\int F$ es completa (desde $F$ es continua). Además, cuenta con un débil objeto inicial, es decir, la representación de $\mathrm{GL}_n$$w=(k[\{X_{ij}\}]_{\mathrm{det}},\overline{(X_{ij})})$. Espero que la notación es clara. Ahora la prueba del Teorema V. 6.1 nos dice cómo construir un objeto inicial: Tenemos que tomar el ecualizador $v$ de todos los endomorphisms de $w$$\int F$. Esto significa que $v=(R,\overline{(X_{ij})})$ donde $R \subseteq k[\{X_{ij}\}]_{\mathrm{det}}$ es el subalgebra cuyos elementos son de corrección en cada $k$-álgebra homomorphism $k[\{X_{ij}\}]_{\mathrm{det}} \to k[\{X_{ij}\}]_{\mathrm{det}}$, $X_{ij} \mapsto P_{ij}$, tal que $\overline{(P_{ij})} = \overline{(X_{ij})}$$\mathrm{PGL}_n$, es decir, $P_{ij} = \lambda X_{ij}$ algunos $\lambda \in (k[\{X_{ij}\}]_{\mathrm{det}})^* = k^* \cdot \mathrm{det}^{\mathbb{Z}}$ (aquí usamos ese $\mathrm{det}$ es un polinomio irreducible).

En otras palabras, $R$ se compone de los polinomios en la $X_{ij}$ localizada en $\mathrm{det}$ de manera tal que la sustitución de $X_{ij} \mapsto \lambda \cdot X_{ij}$ algunos $\lambda \in k^*$, y también se $X_{ij} \mapsto \mathrm{det} \cdot X_{ij}$, no los cambia. ¿Hay alguna manera de hacer este álgebra más explícito? Se puede describir por medio de generadores y relaciones?

Answer 1

Argh! La premisa de mi pregunta

Es fácil comprobar que $F$ conserva todos los límites.

es equivocado. Es correcto que la $F$ conserva los productos, pero ecualizadores no se conservan; ver abajo. Y esta es la razón por la que toda la búsqueda de una representación problema no tiene sentido.

Deje $f,g : R \to S$ dos homomorphisms de álgebras. Su ecualizador es $E = \{r \in R : f(r)=g(r)\}$. El ecualizador de $F(f),F(g) : F(R) \to F(S)$ se compone de los $[M]$, $M \in \mathrm{GL}_n(R)$, tal que $g(M)^{-1} f(M) \subseteq S^* \subseteq \mathrm{GL}_n(S)$. Pero la imagen de $F(E) \to F(R)$ se compone de los $[M]$, $M \in \mathrm{GL}_n(R)$, de tal manera que hay algunos $r \in R^*$ tal que $r M \in \mathrm{GL}_n(E)$, que se ve fácilmente a ser el equivalente a $g(M)^{-1} f(M) = g(r)^{-1} f(r)$ algunos $r \in R^*$. Por lo tanto, si $R=S$, $g=\mathrm{id}$, por un lado tenemos a $f(M) \subseteq S^*$ y en el otro lado $f(M) \in f(R^*)$. Estas condiciones son diferentes para $n \geq 2$. Tal vez alguien puede agregar un ejemplo.

Answer 2

Tenemos que $PGL(n) \cong PSL(n) \rtimes G_m / G_m^n$! Por lo que el álgebra representa a $PGL(n)$ es un producto cruzado de la que representa a $PSL(n)$ por la que representa a $G_m / G_m^n$. No estoy seguro, si la representación de álgebra de $PSL(n)$ es más fácil de construir que el de $PGL(n)$, pero el centro de la $SL(n)$ es finito.

El semidirect producto proviene de la secuencia exacta $$ SL(n) \rightarrow det: GL(n) \rightarrow G_m \rightarrow G_m / G_m^n,$$ y, en consecuencia, $$ PSL(n) \rightarrow PGL(n) \rightarrow G_m / G_m^n.$$

Aquí, $G_m$ es el mutiplicative grupo y $G_m^n$ el subgrupo de $n$-th poderes, la representación de ecuación polinómica de un cociente es $x^n=1$. A veces, el cociente se llama el grupo de $n$-th raíces de la unidad.

La escritura de la representación de álgebra del grupo de los esquemas está más allá de mi experiencia y me llevará mucho tiempo. Así que tal vez esto es sólo un comentario, en lugar de una respuesta.