Estoy escribiendo $z_k=a_k+ib_k$ $a_k,b_k\in\mathbb R$ por sus números complejos.
El $7$ vectores son independientes sobre los reales iff ninguna de las siguientes condiciones se cumple:
- $a_2b_3 = a_3b_2$
- $a_1b_2 + a_2b_4 + a_4b_1 = a_1b_4 + a_4b_2 + a_2b_1$
- $a_1b_3 + a_3b_4 + a_4b_1 = a_1b_4 + a_4b_3 + a_3b_1$
También puede reformular estas condiciones en términos de determinantes:
$$
\left|\begin{array}{ccc}a_2&a_3&0\\b_2&b_3&0\\1&1&1\end{array}\right|=0
\qquad
\left|\begin{array}{ccc}a_1&a_2&a_4\\b_1&b_2&b_4\\1&1&1\end{array}\right|=0
\qquad
\left|\begin{array}{ccc}a_1&a_3&a_4\\b_1&b_3&b_4\\1&1&1\end{array}\right|=0
$$
Interpreting these determinants geometrically (interpreting $z_k$ as points in the complex plane), the first is zero if $z_2,z_3,0$ are collinear (i.e. $z_2$ is a real multiple of $z_3$ or vice versa), the second for $z_1,z_2,z_4$ collinear and the third for $z_1,z_3,z_4$ collinear.
I got these conditions out of the following Sage computation, which I'll explain below:
sage: R.<a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4> = QQ[] # declare polynomial ring
sage: M = matrix([
....: [ 0, 0, a2, b2, 0, 0, 0, 0],
....: [ 0, 0, 0, 0, a3, b3, 0, 0],
....: [a1-a2, b1-b2, a2-a1, b2-b1, 0, 0, 0, 0],
....: [ 0, 0, a2-a4, b2-b4, 0, 0, a4-a2, b4-b2],
....: [ 0, 0, 0, 0, a3-a4, b3-b4, a4-a3, b4-b3],
....: [a1-a3, b1-b3, 0, 0, a3-a1, b3-b1, 0, 0],
....: [a1-a4, b1-b4, 0, 0, 0, 0, a4-a1, b4-b1]])
sage: ideal(M.minors(7)).minimal_associated_primes()
[Ideal (-b1*a3 + a1*b3 + b1*a4 - b3*a4 - a1*b4 + a3*b4) of Multivariate Polynomial Ring in a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4 over Rational Field,
Ideal (-b1*a2 + a1*b2 + b1*a4 - b2*a4 - a1*b4 + a2*b4) of Multivariate Polynomial Ring in a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4 over Rational Field,
Ideal (-b2*a3 + a2*b3) of Multivariate Polynomial Ring in a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4 over Rational Field]
The vectors are linearily dependent if all the $7\times7$ minors are zero. There are $8$ such minors. Now you could simply write down all the polynomial equations you get from the minors and declare that to be your condition. But probably you are looking for some easier solution.
The solutions of this system of polynomial equations form an algebraic set which can be described using an ideal generated by these minors. That ideal contains the set of all polynomials in $R:=\mathbb Q[a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,a_4,b_4]$ que son cero para cada solución.
El ideal no es el primer, por lo que el conjunto algebraico no es un irreductible variedad algebraica, sino la unión de varias de estas variedades. Para describir estos irreductible variedades, uno puede hacer una primaria de la descomposición del ideal y, a continuación, tomar el asociado de los números primos para cada componente.
La documentación para associated_primes escribe:
Devolver una lista de los primos asociados de primaria ideales de que el
intersección es $I$ = self.
Ideal $Q$ es primario si es apropiado ideal del anillo de $R$ y si siempre $ab \in Q$ $a \not\in Q$ $b^n \in Q$ algunos $n \in \mathbb Z$.
Si $Q$ es una de las principales ideales del anillo de $R$, luego el radical ideal $P$$Q$, es decir, $P = \{a \in R, a^n \in Q\}$ algunos $n \in \mathbb Z$, se llama la asociada de primer orden de $Q$.
Si $I$ es un buen ideal del anillo de $R$ entonces existe una descomposición primaria de los ideales de la $Q_i$ tal que
- su intersección es $I$
- ninguno de los $Q_i$ contiene la intersección de el resto, y
- los asociados primer ideales de $Q_i$ son parejas diferentes.
Este método devuelve los asociados de los números primos de la $Q_i$.
La intersección de los ideales corresponde a la unión de conjuntos algebraicos. (Este aspecto me ha tomado un tiempo para envolver mi cabeza alrededor.) Y que va desde el componente principal $Q_i$ a los asociados prime de que simplifica las cosas. Por ejemplo, si usted tiene un ideal que contiene a $z_1^3$ como un generador, entonces la única manera de satisfacer la condición de $z_1^3=0$$z_1=0$. Por lo tanto abandonar el poder significa que usted obtiene el mismo ajuste a cero con el más simple de los generadores.
La función minimal_associated_primes tiene suficiente documentación. La lectura de el código sugiere considerar la Singular función MinAssGTZ para más detalles, pero la documentación de que no es demasiado grande. De todos modos, quiero suponer que la asociada mínima de los números primos son todos los números primos (como se describe más arriba), que no son superseries de los primos asociados de otros componentes. Yo estoy usando esta función como calcular todos los números primos tarda más de los que puedo esperar.
