Demostrar la desigualdad $\frac{b+c}{a(y+z)}+\frac{c+a}{b(z+x)}+\frac{a+b}{c(x+y)}\geq 3\frac{a+b+c}{ax+by+cz}$

Question

Supongamos que $a,b,c,x,y,z$ son todos los números reales positivos. Mostrar que $$\frac{b+c}{a(y+z)}+\frac{c+a}{b(z+x)}+\frac{a+b}{c(x+y)}\geq 3\frac{a+b+c}{ax+by+cz}$$

A continuación se lo que he hecho, que puede ser engañosa.

1. He tratado de analizar , cuando la igualdad tiene：

1.1 Bajo la condición de que $a=b=c$, se reduce a $$\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}+\frac{2}{x+y}\geq \frac{9}{x+y+z}$$ 1.2 Bajo la condición de que $x=y=z$, se reduce a $$\frac{b+c}{2a}+\frac{c+a}{2b}+\frac{a+b}{2c}\geq 3$$ Ambos son fáciles de comprobar. Sin embargo, $ax+by+cz$ no es fácil de tratar. Hay alguna famosa desigualdad que puedo usar aquí?

1.3 Bajo la condición de que $(x,y,z)$ $(a,b,c)$ están en proporción, es decir, $x=at, y=bt, z=ct$ algunos $t>0$, la desigualdad se reduce a $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}$$ que se puede demostrar mediante el uso de Newton de la desigualdad: $$(ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)$$

2. También he tratado de construir una función $$f(x,y,z)=\frac{b+c}{a(y+z)}+\frac{c+a}{b(z+x)}+\frac{a+b}{c(x+y)}- 3\frac{a+b+c}{ax+by+cz}$$ y analizar su mínimo global. Pero el primer orden de condición es complicado $$\frac{3(a+b+c)}{(ax+by+cz)^2}=\frac{c+a}{ab(z+x)^2}+\frac{a+b}{ca(x+y)^2}$$ $$\frac{3(a+b+c)}{(ax+by+cz)^2}=\frac{b+c}{ab(y+z)^2}+\frac{a+b}{bc(x+y)^2}$$ $$\frac{3(a+b+c)}{(ax+by+cz)^2}=\frac{b+c}{ca(y+z)^2}+\frac{c+a}{bc(z+x)^2}$$ Tal vez algunos de convexidad puede ser utilizado aquí?

3. La sustitución ha sido considerada. Vamos $$u=\frac{a}{a+b+c},v=\frac{b}{a+b+c}, w=\frac{c}{a+b+c}$$ A continuación,$u,v,w>0$$u+v+w=1$, que se acaba de pesos que le asignamos $x,y,z$. La desigualdad se convierte en $$\frac{1}{u(y+z)}+\frac{1}{v(z+x)}+\frac{1}{w(x+y)}-\frac{3}{ux+vy+wz}\geq \frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}$$ Definir otra función en las variables de $u,v,w$ $$g(u,v,w)=\frac{1}{u(y+z)}+\frac{1}{v(z+x)}+\frac{1}{w(x+y)}-\frac{3}{ux+vy+wz}$$ y considerar la limitación de problema de optimización: $$\min g(u,v,w)\\ \text{s.t. } u>0\\ v>0 \\w>0\\ u+v+w=1$$ La correspondiente función de Lagrange se puede $$L_{\lambda}(u,v,w)=\frac{1}{u(y+z)}+\frac{1}{v(z+x)}+\frac{1}{w(x+y)}-\frac{3}{ux+vy+wz}+\lambda(u+v+w-1)$$ Y las condiciones de primer orden a dar $$\frac{1}{u^2(y+z)}-\frac{3x}{(ux+vy+wz)^2}=\lambda\Rightarrow \frac{1}{u(y+z)}-\frac{3ux}{(ux+vy+wz)^2}=\lambda u\\ \frac{1}{v^2(z+x)}-\frac{3y}{(ux+vy+wz)^2}=\lambda\Rightarrow \frac{1}{v(z+x)}-\frac{3vy}{(ux+vy+wz)^2}=\lambda v\\ \frac{1}{w^2(x+y)}-\frac{3z}{(ux+vy+wz)^2}=\lambda\Rightarrow \frac{1}{w(x+y)}-\frac{3wz}{(ux+vy+wz)^2}=\lambda w\\ u+v+w=1$$ Resumiendo los rendimientos $$\lambda=\frac{1}{u(y+z)}+\frac{1}{v(z+x)}+\frac{1}{w(x+y)}-\frac{3}{ux+vy+wz}$$ Ninguno de los métodos que he probado parece que funciona, y ahora hasta dudo de la verdad de la desigualdad.

Answer 1

Si partimos de su sustitución en el 3) y comentar que nos encontramos con la condición : $$ux+yv+zw=(x+y+z)(u+v+w)-u(y+z)-v(z+x)-w(x+y)=(x+y+z)-u(y+z)-v(z+x)-w(x+y)$$

Así que si ponemos :

$p=y+x$$\quad$$i=w(x+y)$

$q=z+x$$\quad$$k=v(z+x)$

$r=y+z$$\quad$$j=u(y+z)$

Obtenemos : $$\frac{1}{i}+\frac{1}{j}+\frac{1}{k}+\frac{-3}{\frac{p+r+q}{2}-i-j-k}\geq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r} $$

Con la condición : $$\frac{i}{p}+\frac{k}{q}+\frac{j}{r} $$

Ahora la idea es utilizar la relación entre la circunferencia inscrita de centro I y el lado de un triángulo ABC : $$\frac{IA^2}{CA.AB}+\frac{IB^2}{BC.AB}+\frac{IC^2}{CA.BC}=1$$

Así que poner :

$p=CA.AB$$\quad$$i=IA^2$

$q=BC.AB$$\quad$$k=IB^2$

$r=CA.BC$$\quad$$j=IC^2$

Obtenemos : $$\frac{1}{IA^2}+\frac{1}{IB^2}+\frac{1}{IC^2}+\frac{-3}{\frac{CA.AB+BC.AB+CA.BC}{2}-IA^2-IB^2-IC^2}\geq \frac{1}{CA.AB}+\frac{1}{BC.AB}+\frac{1}{CA.BC} $$

Además, tenemos la siguiente relación : $$\frac{1}{IA^2}+\frac{1}{IB^2}+\frac{1}{IC^2}=\frac{1}{r^2}-\frac{1}{2rR}$$ $$IA^2+IB^2+IC^2=s^2+r^2+8rR$$ $$CA.AB+BC.AB+CA.BC=s^2+(4R+r)r$$ $$\frac{1}{CA.AB}+\frac{1}{BC.AB}+\frac{1}{CA.BC}=\frac{1}{2rR} $$

Donde $s$ denota el semi-perímetro , $r$ el radio de la circunferencia inscrita y R el radio de la excircle

Finalmente, tenemos :

$$\frac{1}{r^2}-\frac{1}{2rR}+\frac{-3}{-(s^2+r^2+8rR)+0.5(s^2+(4R+r)r)}\geq \frac{1}{2rR} $$

Que es obvio .

Answer 2

Esta no es una respuesta, pero poniendo el código en un comentario no funciona bien.

Respecto a tus dudas sobre la verdad de la desigualdad, todavía estoy inclinado a pensar que es cierto. Usted puede tratar de buscar contraejemplos con este código. En el caso de python piensa que la desigualdad no espera, salidas de $a,b,c,x,y,z$ y la diferencia entre los dos lados. Hasta ahora sólo he encontrado diferencias de $10^{-15}$ y el más pequeño, que es sólo de python que carecen de la suficiente precisión.

sta = 3.14
sto = 4.14
ste = .1
def frange(start, stop, step):
    i = start
    while i < stop:
        yield i
        i += step
for a in frange(sta,sto,ste):
    for b in frange(sta,sto,ste):
        for c in frange(sta,sto,ste):
            for x in frange(sta,sto,ste):
                for y in frange(sta,sto,ste):
                    for z in frange(sta,sto,ste):
                        if (1.*(b+c)/(a*(y+z))+1.*(c+a)/(b*(z+x))+1.*(a+b)/(c*(x+y))<3.*(a+b+c)/(a*x+b*y+c*z)):
                            print a,b,c,x,y,z,1.*(b+c)/(a*(y+z))+1.*(c+a)/(b*(z+x))+1.*(a+b)/(c*(x+y))-3.*(a+b+c)/(a*x+b*y+c*z)

También, puesto que la desigualdad puede ser reformados para $$\frac{a}{b(x+z)}+\frac{b}{a(y+z)}+\frac{a}{c(x+y)}+\frac{c}{a(y+z)}+\frac{b}{c(x+y)}+\frac{c}{b(x+z)}\ge\frac{3a}{ax+by+cz}+\frac{3b}{ax+by+cz}+\frac{3c}{ax+by+cz},$$

Maybe we can show that $\frac{1}{b(x+z)}+\frac{1}{c(x+y)}\ge\frac{3}{ax+by+cz}$?