Estoy estudiando los conceptos básicos de los grupos cociente. Entiendo que si construyes un cociente del cojunto de un grupo y el subgrupo que utiliza para construirlas es normal y luego terminas con un grupo.
No veo por qué es significativo el hecho de que podemos definir las operaciones en el conjunto cociente y convertirla en un grupo.
¿Qué es la motivación para hacerlo? Perspectiva histórica, perspectiva práctica o cualquier otra para entender por qué nos importa esto es agradable.
Hay varias razones:
Un ejemplo para ilustrar esto:
Si $Z(G)$ es el centro de un grupo de $G$, y el cociente grupo $G/Z(G)$ es cíclica, a continuación, el grupo $G$ sí es abelian. Este hecho puede ser usado para probar que todo grupo de orden $p²$ (p primo) es abelian.
Incluso cuando eran niños, que estaban muy familiarizados con el grupo $\mathbb{Z}/12 \mathbb{Z}$, sin incluso darse cuenta: cuando usted mira el reloj empieza a contar a $0$ más cuando se es $12$ o' clock.
Además, cada grupo cíclico de orden $n$ es isomorfo a este grupo, por lo que conocer a este grupo le permitirá comprender plenamente un grupo cíclico, pero es que hay más:
Podemos escribir cada finito abelian grupo (hasta el isomorfismo) como el producto directo de los grupos cociente de la forma $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Para la comprensión de esta particular cociente grupo nos permite entender cada grupo abelian!
En teoría de grupos, estamos interesados en la construcción de nuevos grupos con los grupos existentes. Cociente de los grupos son una forma de construir la nueva (más pequeño) de los grupos de un grupo existente. Otras maneras son productos directos, semidirect productos, etc.
La vinculación de grupos finitos con el cociente de los grupos de los rendimientos de los métodos interesantes para contar el orden de un grupo. Por ejemplo, es bien conocido que $$sgn: (S_n, \circ) \to (\{-1,1\},.)$$ is a group homomorphism with kernel $A_n$
Por el primer teorema de isomorfismo, se sigue que:
$$S_n/A_n \cong \{-1,1\} $$
Por lo tanto, $$|A_n| = \frac{|S_n|}{|\{-1,1\}|} = \frac{n!}{2}$$
De la misma manera, combinatorical identidades puede ser probada.
Algunos de los primeros grupos que estás que te presenten a son $\Bbb Z/n \Bbb Z$. Se trata de un grupo cociente. Por el teorema sobre abeliano finitamente generado grupos abelianos todos finitamente generados se construyen grupos de estos grupos cociente.
La razón más grande es que el estudio de los coeficientes de un grupo en particular que realmente puede desbloquear la información sobre el grupo en sí. Ejemplos concretos
1.) La prueba de la 1er teorema de Sylow (al menos los que yo he visto) se basan en la observación de un cociente de un grupo en particular. El tercero también.
2.) Si $N$ es normal y solucionable y $G/N$ es solucionable, a continuación, $G$ es solucionable.
3.) Si $H$ es normal en $G$ $gcd(|x|,|G/H|) = 1$ $x \in H$
4.) Si $G/Z(G)$ es cíclica y, a continuación, $G$ es abelian
A medida que avances a través de álgebra va a ver el pop up de nuevo y de nuevo, y su utilidad se volverá más clara. El concepto de un cociente grupo es uno de los desarrollos más importantes en la historia de las matemáticas.
El hecho de que todos los grupos son grupos cociente de libre grupos probablemente no duele...
Además, usted ha visto probablemente los grupos descritos como: "$G$ es generado a partir de $x$ $y$ sujeto a las ecuaciones de $x^2=1$ $y^3=1$ " o $G=\langle x,y\mid x^2, y^3\rangle$. Esto se llama una presentación de un grupo , y es exactamente el cociente del grupo de el grupo libre generado por (en este caso) $\{x,y\}$. Encontrar presentaciones (idealmente finito presentaciones), o a sabiendas de que un grupo es (finitely) presentable es a menudo uno de los objetivos de la teoría de grupos. En muchos otros casos, estas presentaciones son las definiciones de los grupos. Por ejemplo, el caso de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ mencionado varias veces ya puede ser directamente presenta como $\langle x\mid x^n\rangle$.
Uno de los beneficios de tener una presentación de un grupo es que un grupo de homomorphism de que no puede ser definida por dar una función de los generadores y la verificación de que la función toma objetos equivalentes para el mismo objeto. Por lo que el $G$ desde antes de que tiene un número infinito de elementos, pero para definir un grupo homomorphism, $f$, de los que sólo requiere que se especifique lo $f(x)$ $f(y)$ son y verificar que los $f(x^2) = f(1)=1$$f(y^3)=f(1)=1$.
Finalmente, este patrón de libremente la generación de una estructura y, a continuación, quotienting es representante de la algebraica de los objetos en general. Un buen ejercicio es mostrar que, habida cuenta de la congruencia, $\sim$, en un grupo, la clase de equivalencia de a $1$ (el elemento de identidad), es decir,$\{g\in G\mid g\sim 1\}$, es un subgrupo normal. Por el contrario, mostrar $g\sim h \iff gh^{-1}\in N$ donde $N$ es un subgrupo normal de $G$ es una congruencia. Esta es la razón por la normal subgrupos son interesantes. Cuando el estudio de los anillos e ideales, esto es exactamente lo que está sucediendo allí. Un ideal es la clase de equivalencia de a $0$ con respecto a un anillo de congruencia.
Una de las razones es que las propiedades del cociente grupo puede ser "marcha atrás" de las propiedades del grupo. Como un ejemplo claro, en geometría combinatoria y teoría de grupos (es decir, el estudio de finitely generado infinito de los grupos a través de funky técnicas) no es una clase muy importante de los grupos de la llamada hiperbólica grupos. Estos grupos se comportan bien; por ejemplo, todos ellos son finitely presentado. Creo que hiperbólicos de grupos como generalizada libre de grupos. Es una pregunta natural a preguntar si su finitely generado subgrupos son bien comportados. Por ejemplo:
Pregunta. Son todos los finitely generado subgrupos de un grupo hiperbólico también hiperbólico?
Rip* demostrado el siguiente resultado.
Teorema. Para cada finitely presentó el grupo de $Q$ existe un grupo hiperbólico $H$ y un finitely generado, normal subgrupo $N$ $H$ tal que $H/N\cong Q$.
Dado un número finito de presentación de $Q$, arranca de forma explícita las construcciones del grupo a $H$. Este resultado se conoce como Retorno de la construcción. Rip' lleva al grupo a $H$ a ser una "torsión pequeña gratis cancelación de grupo", el cual es mucho más agradable de clase de los grupos de la clase hiperbólicos de los grupos. Rasga papel se puede leer fácilmente con sólo un conocimiento básico de los pequeños de la cancelación de la teoría (que es de 3 páginas!).
Podemos entonces dar marcha atrás propiedades del grupo $Q$ para obtener resultados sobre el subgrupo $N$. Por ejemplo,
Para obtener más ejemplos de aplicaciones de Retorno de construcción, consulte Rasga papel o este viejo blog.
* E. Rips, Subgrupos de pequeñas Cancelación Grupos, Boletín de la Sociedad Matemática de Londres, Volumen 14, número 1, del 1 de enero de 1982, pp45–47, doi enlace.
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