¿por qué es esta secuencia convergente

Question

Supongamos que a tiene dos secuencia $(a_n)_{n\geq1}$ $(b_n)_{n\geq1}$ tal que

$a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+b_{n-1})$.

Quiero demostrar que si $b_n\rightarrow0$$a_n\rightarrow0$.

La única cosa que pude comprobar es que el $a_n$ es acotado, de hecho:

$b_n$ es convergente y así delimitada $|b_n|\leq M$. Y por lo $|a_n|\leq |\frac{a_2}{2^{n-1}}+\frac{b_2}{2^{n-2}}+\cdots+\frac{b_{n-1}}{2}|\leq|\frac{a_2}{2^{n-2}}|+M\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{2^k}$ y por el gran $n$ tenemos $|\frac{a_2}{2^{n-2}}|\leq\varepsilon$

Podría usted ayudarme a seguir (si estoy en el camino correcto), por favor?

Veo que si podemos demostrar que $a_n$ tiene un límite de $L$, entonces necesariamente $L=0$ porque $L$ debe satisfacer $L=\frac{1}{2}L$, pero no sé cómo demostrar que tiene un límite.

Answer 1

Sugerencia: Usted tiene un buen comienzo en la comprobación de que la secuencia de $(a_n)$ está acotada. Vamos a reutilizar su truco y mirar $$ a_{2n}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{b_{2n-1}}2+\frac{b_{2n-2}}4+\cdots+\frac{b_n}{2^n}. $$ Todos los números de $|b_k|<\epsilon$ $k\ge n$ si $n$ es lo suficientemente grande. El primer término $a_n/2^n$ parece que podría estar bajo control, así que ahora que usted sabe $|a_n|$ a ser limitada.

Answer 2

Suponga que $-t\leqslant b_n\leqslant t$ para un determinado positivo $t$, y para cada $n\geqslant n_t$. A continuación, $a_n-t\leqslant\frac12(a_{n-1}-t)$ $a_n+t\geqslant\frac12(a_{n-1}+t)$ por cada $n\geqslant n_t$. Por lo tanto $\limsup (a_n-t)\leqslant0$$\liminf (a_n+t)\geqslant0$. Ya que esto es válido para cada positivos $t$, $a_n\to 0$.

Answer 3

Una manera de hacerlo es ver la recursividad de la ecuación de definición de $a_n$ como, bueno, la recursividad de la ecuación. A continuación, es una no lineal homogénea de recursividad, cuyos asociados homogénea recursividad es muy fácil de resolver. Uno podría entonces utilizar Lagrange del método de variación de parámetros para determinar la solución real, pero en lugar de hacer eso (que no puede, de hecho, porque no sabemos $b_n$) podemos utilizar la misma idea para obtener los límites que se pruebe que lo que usted desea. Vamos a hacer eso.

Deje $\varepsilon>0$. Existe una $N$ tales $|b_n|\leq\varepsilon$ todos los $n\geq N$.

Deje $a_n=\frac{\alpha_n}{2^n}$ (esto es donde utilizamos el método de Lagrange: la solución de la ecuación homogénea es$\frac{\alpha}{2^n}$, $\alpha$ una constante y Lagrange sugiere que pasamos ahora a $\alpha$ en función de $\alpha_n$$n$) y supongamos que $|b_n|\leq\beta$ todos los $n\geq1$. Sustituyendo esto en la definición de recursividad nos dice que $$|\alpha_n-\alpha_{n-1}|=2^{n-1}|b_n|$$ for all $n\geq1$. This implies that when $n\geq N$ \begin{align}|\alpha_n-\alpha_0|&\leq|\alpha_n-\alpha_{n-1}|+|\alpha_{n-1}-\alpha_{n-2}|+\cdots+|\alpha_1-\alpha_0| \\ &\leq(2^{n-1}+\cdots+2^N)\varepsilon + (2^{N-1}+\cdots+2^0)\beta\\&\leq (2^n-2^N)\varepsilon+(2^N-1)\beta \\&\leq 2^n \varepsilon+c\end{align} for some positive constant $c$. Then $$|\alpha_n|\leq 2^n\varepsilon+c+|\alpha_0|$$ and $$|a_n|=|\alpha_n/2^n|\leq\varepsilon+\frac{c+|\alpha_0|}{2^n}.$$ This should make it clear that $a_n\to0$.