El Cálculo Integral, bien o mal?

Question

Tengo dos preguntas, que me decidí y mi opinión no coincide con la de mi libro, pero no parecen estar mal.

Calcular el volumen del sólido obtenido por la rotación de la región limitada por las curvas

I) $y=e^x,\;y=0,\;x=0,\;x=1$ $x$- eje

Mi respuesta fue $$V=\pi\int_{0}^{1}\;\left(e^x\right)^2\;dx=\frac{\pi}{2}\int_0^1\;e^{2x}\cdot 2\;dx$$

$$\boxed{V=\frac{\pi}2\left(e^2-1\right)}$$

Y mi opinión dice $$V=\frac{\pi}{12}\left( e^2-1 \right)$$

II) Tener a la otra es $y=\sec x,\; y=1,\; x=-1,\;x=1$ $x$- eje

$$V=\pi\int_{-1}^1\;\left( (\sec x)^2-1^2 \right)\;dx=\left.\pi\left( \tan x-x \right)\right|_{-1}^1$$

$$V=\pi(\tan(1)-2-\tan{(-1)})$$

Y mi opinión dice $$V=2\pi(\tan1-1)$$

Estoy mal de nuevo?

Answer 1

Para la primera, creo que alguien acaba accidentalmente por escrito de 12 en lugar de 2. No puedo ver ningún error en tu trabajo.

Para el segundo, $$\tan(-1)=\frac{\sin(-1)}{\cos(-1)}=-\frac{\sin(1)}{\cos(1)}=-\tan(1)$$ $$\pi(\tan(1)−2−\tan(−1))=\pi(\tan(1)-2-(-\tan(1)))$$ $$=\pi(2\tan(1)-2)=2\pi(\tan(1)-1)$$

estás en lo correcto, pero sólo para hacer un poco más :)

Answer 2

En ambos casos estás en lo correcto. Hay una errata en la retroalimentación de la respuesta en el primer problema. Para ver por qué su respuesta es la misma que la del libro, en el segundo caso, recordemos que la función tangente es una función impar.