Encontrar la solución de todos los enteros

Question

Encuentre todas las soluciones enteras tales que $$a+1|2a^2+9$$

Solución . Podría resolver esto escribiendo $$\frac{2a^2+9}{a+1}=2a-2+\frac{11}{a+1}.$$ Por lo tanto, las únicas soluciones enteras para la última ecuación son $a=10, a=-12.$

Pero, quiero obtener una solución utilizando las propiedades de divisibilidad.

Answer 1

Como suele ser el caso, convertir la pregunta de divisibilidad en aritmética modular es muy útil:

$$ 2a^2 + 9 \equiv 0 \pmod{a+1} $$

que puede simplificarse drásticamente utilizando

$$ a \equiv -1 \pmod{a+1} $$

Answer 2

Tienes una idea bastante acertada. Observe que $a+1 | 2(a^2-1)$ . Además, podemos escribir $$2a^2+9=2(a^2-1)+11.$$ Por lo tanto, para $a+1$ para dividir $2a^2+9$ tiene que dividir $11$ (porque $11$ es la diferencia de dos expresiones ambas divisibles por $a+1$ ). Por lo tanto, los únicos valores de $a+1$ son todos divisores de $11$ , a saber $\pm 1, \pm11$ . Así, $4$ soluciones en total.

Answer 3

Por medios elementales, ya que $a+1|2a^2+2a$ , se divide $2a^2+9-(2a^2+2a)=9-2a$ .

Desde $a+1|2a+2$ tenemos $a+1|(9-2a)+(2a+2)$

Por lo tanto, $a+1|11$

Por lo tanto, $a+1=±1$ o $a+1=±11$

Por lo tanto, $a=-12,-2,0,10$ .