Evaluación de la discreción de la variable aleatoria mediante su función característica

Question

Es fácil detectar una variable aleatoria discreta de valor entero observando su función característica, ya que es periódica con periodo $2 \pi$ es decir, para la distribución binomial es $\phi(t) = (1-p+p \, \mathrm{e}^{i t})^n$ .

Hace poco me encontré con el resultado de Khintchine de que $\phi(t) = \frac{\zeta(s + i t)}{\zeta(s)}$ es una función característica de una variable aleatoria para $s > 1$ . Después de algunos retoques, determiné que corresponde a $x_k = -\log(k)$ , donde $k$ sigue la distribución Zipf con el parámetro $s-1$ . De hecho:

$$ \mathbb{E}( \mathrm{e}^{ -i t \log(k)} ) = \mathbb{E}( k^{-i t} ) = \sum_{k \ge 1} k^{-i t} \frac{k^{-s}}{\zeta(s)} = \frac{\zeta(s+i t)}{\zeta(s)} $$

Esta función característica, por tanto, también corresponde a una variable aleatoria discreta.

Esto hace que surja un pregunta : ¿Se puede identificar fácilmente una variable aleatoria discreta a partir de su función característica? ¿O sólo se puede invertir la función característica? ¿Cómo se hace la inversión? La transformada inversa de Fourier ordinaria produciría distribuciones, ¿no?

Gracias.

Answer 1

No estoy seguro de cómo distinguir puramente variables aleatorias discretas, pero la fórmula $$\lim_{T\to\infty}{1\over 2T}\int^T_{-T}|\phi(t)|^2\,dt=\sum\mu(\{x\})^2$$ nos dice si la distribución $\mu$ tiene una parte discreta.

Referencia: Ejercicio 3.7 (página 98) de Probabilidad: Teoría y Ejemplos (2ª edición) por Richard Durrett.

Answer 2

La función característica es la transformada de Fourier de la densidad de probabilidad (con exponente positivo, en lugar de la convención más habitual de negativo; pero eso es una convención). Esto también es válido si la variable es discreta, utilizando una distribución (suma de deltas de Dirac) dentro de la integral de Fourier, que a su vez puede expresarse de forma equivalente como una suma de Fourier. Si la variable toma valores en los enteros, entonces tenemos la DTFT y la transformación $X(\omega)$ es una función periódica ( $2 \pi$ ). Recuperar la densidad original, no es ni más ni menos que calcular la transformada inversa. Si se aplica directamente a la $X(w)$ obtendríamos la suma de deltas; de forma equivalente, podemos integrar sobre un solo periodo para obtener los valores de la función de probabilidad. Todo esto se explica en la página enlazada.

Esto, si estás interesado en obtener los valores de la función de probabilidad. Si sólo quieres saber si el C F corresponde a una variable discreta: para un soporte uniformemente discreto (por ejemplo, números enteros), el C F debe ser periódico. Para variables arbitrariamente discretas (menos habitual) el criterio es más complejo - véase la respuesta de Byron.