Dada una integral de una función continua en un sistema cerrado (pequeño) intervalo de tiempo, uno puede encontrar un valor aproximado de la integral usando la regla de Simpson o de otras reglas de cuadratura. ¿Qué sucede si aún a pesar de que la integral impropia converge, el integrando no está definido en los extremos del intervalo?
Específicamente, estoy interesado en encontrar una aproximación para la siguiente integral, que no creo que haya una forma cerrada: $$I = -\int_{-\alpha}^0\frac{k \left(\beta x^2+x+1\right) \log ^k\left(\frac{1}{x+1}\right)}{x}dx$$ El integrando diverge como $x\to 0$, pero la integral converge a un valor finito. Se afirma (y correcta) que al $\alpha \ll 1$, esta integral se puede aproximar por la forma simple: $$I(\alpha\to 0)\approx -\int_{-\alpha}^0\frac{k \log ^k\left(\frac{1}{x+1}\right)}{x}dx \approx \alpha^k$$ ¿Alguien puede explicar cómo esta aproximación se deriva? Sería bueno tener un método que podría ser generalizable a otros casos similares.
