Integral indefinida de $\sqrt{\sin x}$

Question

$$\int \sqrt{\sin x} ~dx.$$

¿Existe un simple antiderivada de $\sqrt{\sin x}$? ¿Cómo puedo integrar?

Answer 1

Desde $\sqrt{\sin(x)} = \sqrt{1 - 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2}\right)}$, esto coincide con la integral elíptica de segunda especie: $$\begin{align*} \int \sqrt{\sin(x)} \, \mathrm{d} x &\stackrel{u = \frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}}{=} -2 \int \sqrt{1-2 \sin^2(u)} \,\mathrm{d} u\\ &= -2 E\left(u\mid 2\right) + c = -2 E\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\middle|\, 2\right) + c \end{align*}$$ donde $c$ es una constante de integración.