Pregunta sobre finito de Espacios Vectoriales, inyectiva, surjective y si $V$ no es finito

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial y $\alpha \in \operatorname{End}(V)$

(i) Si $V$ es finito dimensionales, a continuación, $\alpha$ es inyectiva iff $\alpha$ es surjective.

(ii) Dar un ejemplo que muestra (i) es falsa si $V$ no es finito dimensionales.

Así, en (i), ya que $V$ es finito dimensionales, a continuación, $V$ tiene una base finita de cardinalidad y, por tanto,$\dim(V)=n$. También, el siguiente tiene, $\dim(V)=\dim(\ker(\alpha) + \dim(\operatorname{im}(\alpha))$ Desde $\alpha$ es inyectiva, entonces el$\ker(\alpha)$$0$, lo que implica que el$\dim(\ker(\alpha)$$0$, lo que implica que $\dim(\operatorname{im}(\alpha))=\dim(V)$ y que muestra que $\alpha$ es surjective. (Es cierto?)

En la segunda, (ii), sólo tengo ni idea. Me refiero a que no debe Axioma de Elección, será capaz de trabajar aquí?

Answer 1

Las afirmaciones (i) y (ii) ilustran que finito-dimensional espacios vectoriales se comportan de una manera similar a lo finito de conjuntos, para un mapa de $X \to X$ sobre un conjunto finito es inyectiva iff es surjective. Sin embargo, si $X$ es un conjunto infinito hay mapas que son inyectiva pero no surjective (por ejemplo,$\mathbb N \to \mathbb N, x \mapsto x+1$) y viceversa (por ejemplo,$\mathbb N \to \mathbb N, x \mapsto \max\{1,x-1\}$). Usted puede convertir esto en un contraejemplo para la instrucción correspondiente para espacios vectoriales: vamos a $V$ ser el espacio vectorial libremente generada por $\mathbb N$, es decir, el espacio vectorial de las secuencias de $(a_1,a_2,\ldots) \in k^{\mathbb N}$ donde $a_i =0$ para todos, pero un número finito de $i$ y considerar el lineal mapas inducida por encima de los mapas, es decir, $$(a_1,a_2,\ldots) \mapsto (0,a_1,a_2,\ldots)$$ y $$(a_1,a_2,\ldots) \mapsto (a_1+a_2,a_3,a_4\ldots)$$ respectivamente. El primer mapa es inyectiva pero no surjective, y viceversa para el segundo mapa.

Answer 2

El segundo no falla porque el axioma de elección, utiliza el hecho de la que la dimensión del espacio es finito.

Un ejemplo contrario: $V$ es el espacio de los polinomios con coeficientes de en $\mathbb{R}$ $T$ está definido por $$T(x^{i})=x^{i+1}$$ (que es $1\mapsto x,x\mapsto x^{2}$ etc' ).

En este caso, $T$ es claramente $1-1$, pero no en desde $1$ no es en la imagen de $T$

Nota:$1$: Tenemos que $$dim(Im(T))+1=dim(V)$$ but still $dim(Im(T))=dim(V)$ porque ambos no son no finita, esto es lo que falla.

Nota:$2$: definimos $T$ sobre una base de $V$ así que está bien definido.

Answer 3

No necesitamos de CA aquí. Tome el siguiente espacio vectorial

$$ V:=\left\{\,\{a_n\}_{n=1}^\infty\subset \Bbb R\,\right\} $$

de todos los verdaderos secuencias, con coordinatewise operaciones (suma y multiplicación por escalares), y definir

$$\phi:V\to V\,\,,\,\,\phi(\{a_n\}):=\{0,a_1,a_2,...\}$$

Entonces, es fácil comprobar que $\,\phi\,$ $\,1-1\,$ transformación lineal, sin embargo, claramente no es surjective.