¿$\int_a^bx^\alpha \exp\left[-\left(\frac{x-\delta}{\sigma}\right)^\alpha\right]dx$ Forma cerrada?

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral:

$$\int_a^bx^\alpha \exp\left[-\left(\frac{x-\delta}{\sigma}\right)^\alpha\right]dx$$

donde $0<a<b$, $\delta\leq a$ y $\alpha>0$.

Hay una forma cerrada, tal vez en términos de Gamma y de error de las funciones?

Answer 1

Tenga en cuenta que esta integral tiene la forma cerrada sólo al $\alpha=1$ y se puede expresar en términos de la conocida funciones especiales que sólo al $\delta=0$ o $\alpha$ es un número entero positivo distinto de $1$.

Al $\alpha=1$ , esta integral se convierte en $\int_a^bxe^{-\frac{x-\delta}{\sigma}}~dx$ y obviamente se ha cerrado de forma

Al $\alpha=2$ , esta integral se convierte en $\int_a^bx^2e^{-\left(\frac{x-\delta}{\sigma}\right)^2}~dx$ y se puede expresar en términos de la función de error

Para otros valores de $\alpha$ , considere la posibilidad de $\int x^\alpha e^{-\left(\frac{x-\delta}{\sigma}\right)^\alpha}~dx$ ,

Deje $u=\dfrac{x-\delta}{\sigma}$ ,

A continuación, $x=\sigma u+\delta$

$dx=\sigma~du$

$\therefore\int x^\alpha e^{-\left(\frac{x-\delta}{\sigma}\right)^\alpha}~dx=\int\sigma(\sigma u+\delta)^\alpha e^{-u^\alpha}~du$

Al $\delta=0$ , la integral se convierte en $\int\sigma^{\alpha+1}u^\alpha e^{-u^\alpha}~du$

Deje $v=u^\alpha$ ,

A continuación, $u=v^{\frac{1}{\alpha}}$

$du=\dfrac{v^{\frac{1}{\alpha}-1}}{\alpha}dv$

$\therefore\int\sigma^{\alpha+1}u^\alpha e^{-u^\alpha}~du=\int\dfrac{\sigma^{\alpha+1}v^{\frac{1}{\alpha}}e^{-v}}{\alpha}dv=\dfrac{\sigma^{\alpha+1}}{\alpha}\gamma\left({\dfrac{1}{\alpha}+1},v\right)+C=\dfrac{\sigma^{\alpha+1}}{\alpha}\gamma\left({\dfrac{1}{\alpha}+1},u^\alpha\right)+C=\dfrac{\sigma^{\alpha+1}}{\alpha}\gamma\left({\dfrac{1}{\alpha}+1},\left(\dfrac{x}{\sigma}\right)^\alpha\right)+C$

Por lo tanto $\int_a^bx^\alpha e^{-\left(\frac{x}{\sigma}\right)^\alpha}~dx=\dfrac{\sigma^{\alpha+1}}{\alpha}\left(\gamma\left({\dfrac{1}{\alpha}+1},\left(\dfrac{b}{\sigma}\right)^\alpha\right)-\gamma\left({\dfrac{1}{\alpha}+1},\left(\dfrac{a}{\sigma}\right)^\alpha\right)\right)$

Al $\delta\neq0$ $\alpha$ es un entero positivo,

$\int\sigma(\sigma u+\delta)^\alpha e^{-u^\alpha}~du=\int\sum\limits_{n=0}^\alpha C_n^\alpha\delta^{\alpha-n}\sigma^{n+1}u^ne^{-u^\alpha}~du$

Considere la posibilidad de $\int u^ne^{-u^\alpha}~du$ ,

Deje $v=u^\alpha$ ,

A continuación, $u=v^{\frac{1}{\alpha}}$

$du=\dfrac{v^{\frac{1}{\alpha}-1}}{\alpha}dv$

$\therefore\int u^ne^{-u^\alpha}~du=\int\dfrac{v^{\frac{n+1}{\alpha}-1}e^{-v}}{\alpha}dv=\dfrac{1}{\alpha}\gamma\left({\dfrac{n+1}{\alpha}},v\right)+C=\dfrac{1}{\alpha}\gamma\left({\dfrac{n+1}{\alpha}},u^\alpha\right)+C=\dfrac{1}{\alpha}\gamma\left({\dfrac{n+1}{\alpha}},\left(\dfrac{x-\delta}{\sigma}\right)^\alpha\right)+C$

Por lo tanto $\int_a^bx^\alpha e^{-\left(\frac{x-\delta}{\sigma}\right)^\alpha}~dx=\sum\limits_{n=0}^\alpha\dfrac{C_n^\alpha\delta^{\alpha-n}\sigma^{n+1}}{\alpha}\left(\gamma\left({\dfrac{n+1}{\alpha}},\left(\dfrac{b-\delta}{\sigma}\right)^\alpha\right)-\gamma\left({\dfrac{n+1}{\alpha}},\left(\dfrac{a-\delta}{\sigma}\right)^\alpha\right)\right)$