Determinar si $24x^5-30x^4+5=0$ es soluble por radicales $ \mathbb{Q}?$

Question

Determinar si $24x^5-30x^4+5=0$ es soluble por radicales $ \mathbb{Q}$

Mi intento: existe un teorema que un polinomio puede resolverse por radicales si y solamente si su grupo de Galois es un group.here soluble el Polinomio irreducible en $ \mathbb{Q}$ de Eisenstein criteria.if $\beta$ es la raíz del polinomio entonces $gal( \mathbb{Q}(\beta): \mathbb{Q})=?$

Answer 1

Es un hecho general de que el si $f(x)$ es un polinomio irreducible sobre $\mathbb{Q}$ de primer grado $p\geq 5$ tener exactamente $p-2$ raíces reales, entonces el grupo de Galois de $f$$S_p$.

En este caso, $f(x)=24x^5-30x^4+5$ es irreductible por el criterio de Eisenstein y de Gauss lema. También $f(-1)<0$, $f(0)>0$, $f(1)<0$, y $f(2)>0$, lo $f$ tiene al menos tres raíces reales por el teorema del valor intermedio.

Por otro lado, $f^{\prime}(x)=120x^3(x-1)$, que tiene exactamente dos raíces. Por lo tanto $f(x)$ tiene más de tres raíces reales por el teorema de Rolle.

Por lo tanto $f(x)$ tiene exactamente tres raíces reales, por lo tanto el grupo de Galois de $f$$\mathbb{Q}$$S_5$. Y $S_5$ no es solucionable grupo, por lo $f$ no resolubles por radicales.

Answer 2

Aprendí esta técnica recientemente en el MSE. Se basa en la general, el teorema de Galois:

Teorema: Si $p(x) $ es un polinomio irreducible de primer grado con coeficientes racionales, entonces es soluble por radicales si y sólo si todas las raíces de este polinomio se puede expresar como una función racional de dos de sus raíces.

Este tiene un buen corolario de que si un polinomio irreducible de primer grado es soluble por radicales y tiene dos raíces reales, entonces todas las otras raíces racionales funciones de estas raíces debe ser real. Así tenemos

Corolario: Si $p(x) $ es un polinomio irreducible de primer grado con coeficientes racionales y es soluble por radicales, a continuación, o bien se tiene una raíz real o tiene todas sus raíces reales.

Se encarga de muchos de los polinomios de primer grado y su ejemplo también encaja aquí porque sólo tiene tres raíces reales y por lo tanto no es soluble por radicales. El difícil caso es cuando tal polinomio tiene sólo una raíz real y, sin embargo, puede suceder que no se pueden resolver por radicales (por ejemplo,$x^5-x-16$).

Answer 3

Con la IVT, encontramos allí son tres raíces reales en $\;(-1,0)\,,\,(0,1)\,,\,(1,2)\;$, y como derivado del polinomio es $\;120x^3(x-1)\;$, la derivada es positiva para $\;x<0\;$ o $\;x>1\;$, lo que significa que antes de la raíz más pequeña arriba, y después el mayor hay raíces no más reales y así la re es un % par conjugado $\;w,\,\overline w\;$de complejo no bienes raíces, que significa el grupo de Galois del polinomio es $\;S_5\;$ (ver ¿por qué?) y así no solubles por radicales.