Él no tiene

Question

Como un personaje de un grupo algebraico se define como cualquier morfismo (de grupos algebraicos) de este grupo $\mathbb{G}_m$, cómo probar:

$\mathbb{G}_a$ no tiene ningún carácter no trivial.

Si tomar el terreno campo $K=\mathbb{C}$ y definir un mapa $\phi: \mathbb{G}_a \rightarrow \mathbb{G}_m$, $a+bi \mapsto $ exp $(a+bi)$, ¿por qué no $\phi$ carácter de $\mathbb{G}_a$? (¿Por qué no es un morfismo de grupos algebraicos?)

Muchas gracias.

Answer 1

Una forma de establecer que no es trivial homomorphism algebraico de los grupos de $\mathbb{G}_a$ $\mathbb{G}_m$es a través de la descomposición de Jordan: cada elemento de a $x$ en un algebraicas lineales grupo puede únicamente ser escrito como el producto de un semisimple elemento $x_s$ y un unipotentes elemento $x_u$, y esta descomposición es preservada por homomorphisms algebraico de los grupos. Véase, por ejemplo, el Teorema 6 de estas notas de Ryan Reich.

Ahora podemos darnos cuenta de $\mathbb{G}_a$ como el subgrupo de matrices $\{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array} \right] , \ a \in K \}$,

lo que muestra que cada elemento de a $\mathbb{G}_a$ es unipotentes. Por otro lado, cada elemento de la $\mathbb{G}_m$ es semisimple. Desde un elemento que es a la vez unipotentes y semisimple es la identidad, la única homomorphism de $\mathbb{G}_a$ $\mathbb{G}_m$es la trivial.

Como por el ejemplo y con la exponencial mapa: eso no es una expresión algebraica de la función! Recuerde que en el trato con homomorphisms algebraico de los grupos, podemos restringir el acceso a los mapas que son localmente dadas por polinomios.

Answer 2

Usted podría estar interesado en esta respuesta mía de Mo. Sobre un anillo base $R$ que contiene el muestro el hom de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{G}_a$ $\mathbb{G}_m$, están en biyección canónico con los elementos nilpotentes de $R$. En particular, si $R$ sí mismo es un campo, el único nilpotente es $0$, dando el hom trivial.

Answer 3

Ya que estos son afines algebraica de los grupos, hay un equivalente anillo de la teoría de la declaración. Es decir, un personaje sobre un anillo conmutativo $R$ $R$- álgebra de Hopf mapa de$R[x,x^{-1}]$$R[y]$, donde el comultiplication es $x \mapsto x \otimes x$ a la izquierda y $y \mapsto y \otimes 1 + 1 \otimes y$ a la derecha.

Para ser un $R$-álgebra de mapas, $x$ tiene que ir a un elemento invertible de $R[y]$. Vamos a escribir como $f(y) = \sum_{i=0}^n r_i y^i$ donde $r_0 \in R^\times$. Tomando tensor de la plaza es un functor en álgebras, por lo que obtener un mapa $$R[x,x^{-1}] \otimes_R R[x,x^{-1}] \to R[y] \otimes_R R[y] = R[y,z]$$ que, en particular, los rendimientos de la cesión: $$x \otimes x \mapsto f(y) f(z) = \sum_{j=0}^n \sum_{k=0}^n r_j r_k y^j z^k.$$ Tener un álgebra de Hopf mapa, es necesario y suficiente que este ser igual a la imagen de $f(y)$ bajo la comultiplication mapa, que es $$\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i \binom{i}{j} r_i y^j z^{i-j}.$$ La comparación de los coeficientes de $y^j z^k$ se obtiene el sistema de ecuaciones $r_jr_k = \binom{j+k}{j} r_{j+k}$ donde$r_m = 0$$m > n$.

Nos encontramos con que $r_0 = 1$ (desde $r_0$ es invertible idempotente), y todos los $r_i$ $i \geq 1$ son nilpotent. Desde el complejo, los números no tienen un valor distinto de cero nilpotents, todos los caracteres definidos en $\mathbb{C}$ son triviales.

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Un poco más de trabajo muestra que hay un functor de los esquemas de conjuntos que toma el espectro de un anillo de $R$ para el grupo de personajes de la aditivo grupo de más de $R$. Este functor es formalmente representada por el multiplicativo grupo formal $\widehat{\mathbb{G}_m}$, cuyo reducido subscheme es $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$. Este es un ejemplo de la dualidad de Cartier, donde uno tiene que permiten a los planes oficiales para tomar duales de conmutativa afín a los grupos.

Con respecto a la función exponencial, que no cede un mapa de$R[x,x^{-1}]$$R[y]$, pero en característica cero, no es una forma exponencial mapa a la finalización de la $R[[y]]$, que es el anillo de coordenadas de la formal aditivo grupo $\widehat{\mathbb{G}_a}$. Esto se da mediante el envío de $x$$\exp(y) = \sum_{i = 0}^\infty \frac{y^i}{i!}$, y es sencillo comprobar que la asignación de $r_i = 1/i!$ satisface el sistema de ecuaciones $r_j r_k = \binom{j+k}{j} r_{j+k}$. En característica positiva, no se puede dividir por $i!$, pero no es una forma exponencial formales de poder dividido serie de álgebra, lo que produce una especie de PD-aditivo grupo. En otras palabras, la exponencial no producir un homomorphism cuando se limita a un infinitesimal barrio de la identidad, pero que homomorphism no puede ser extendido a un homomorphism (en el grupo de los esquemas) en el conjunto de aditivos de grupo.

Answer 4

Si ${\Bbb G}_a$ tenía un carácter no trivial, entonces habría una sistemática (de hecho, functorial) manera de producir elementos invertible en cualquier anillo $R$ (o tal vez en cualquier $R_0$-álgebra, $R_0$ Dónde está el anillo de definición del carácter) de su añadido estructura.

Esto sería bastante extraño...