Si la ley de los grandes números sostiene, a continuación, los incrementos son integrables

Question

Deje $X_{i}$ ser independientes e idénticamente distribuidas variables aleatorias tales que $S_n/n\to 0$ casi seguramente donde $S_n=X_1+\dots+X_n$. Cómo probar que $E|X_1|<\infty$ y, por tanto, $EX_1=0.$

Answer 1

Para cada positivos $n$$U_n=S_n/n$. Hay dos hechos simples en la base de la caracterización del comportamiento de la secuencia de $(U_n)$ cuando los incrementos de $(X_n)$ son yo.yo.d. pero no integrable.

(1) Estocástico hecho: si $(X_n)$ es yo.yo.d. y $X_1$ no es integrable, entonces, para cada finito $x$, infinidad de eventos $A_n=[|X_n|\ge xn]$ se dio cuenta, casi seguramente.

(2) el hecho determinante: considere una secuencia determinista $(x_n)$ y por cada positivo $n$ definir $u_n=(x_1+\cdots+x_n)/n$. Si existe una positiva $x$ tal que $|x_n|\ge xn$ infinitamente muchos índices $n$, entonces la secuencia de $(u_n)$ es divergente.

Poner los hechos (1) y (2) juntas de los rendimientos que $(U_n)$ es casi seguramente divergentes, en particular, en el caso de $[U_n\to0]$ tiene probabilidad cero.

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Para demostrar el hecho de que (1), tenga en cuenta que $(A_n)$ es independiente de la secuencia de los acontecimientos y que la serie $\sum P(A_n)$ es divergente por lo tanto Borel-Cantelli lema se obtiene el resultado.

Para demostrar el hecho de (2), asume que el $(u_n)$ es convergente y que $u_n\to u$. A continuación, $$x_n/n=u_n-u_{n-1}(n-1)/n\a u-u=0,$$ por lo tanto $|x_n|\le\frac12xn$ por cada $n$ lo suficientemente grande, la cual es una contradicción.

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Añadió más tarde Pensé que bien podría recordar la prueba de que, en (1), la serie de $\sum P(A_n)$ divergentes. La idea es que el $P(A_n)=P(|X_1|\ge xn)$ y que $$\sum_{n\ge0}P(|X_1|\ge xn)=\sum_{n\ge0}(n+1)P(x(n+1)>|X_1|\ge xn)\ge x^{-1}E(|X_1|).$$ Y por último, este límite superior se pierde casi nada, ya que uno también tiene $$\sum_{n\ge1}P(|X_1|\ge xn)=\sum_{n\ge1}nP(x(n+1)>|X_1|\ge xn)\le x^{-1}E(|X_1|).$$

Answer 2

Supongamos por contradicción que ${\rm E}|X_1| = \infty$. Si ${\rm E}(X_1^ + )=\infty$ (respectivamente, ${\rm E}(X_1^ + ) < \infty$) y ${\rm E}(X_1^ - ) < \infty$ (respectivamente, ${\rm E}(X_1^ - ) = \infty$), a continuación, una.s., $S_n / n \to \infty$ (respectivamente, $S_n / n \to -\infty$)$n \to \infty$. Si ${\rm E}(X_1^ + )=\infty$${\rm E}(X_1^ - )=\infty$, entonces uno de los siguientes sostiene: 1) $S_n / n \to \infty$.s.; 2) $S_n / n \to -\infty$.s.; 3) $\lim \sup _{n \to \infty } n^{ - 1} S_n = \infty$ $\lim \inf _{n \to \infty } n^{ - 1} S_n = -\infty$ .s. Por lo tanto, $S_n/n \to 0$.s. implica ${\rm E}|X_1| < \infty$.

EDIT: Para más detalles, incluyendo una referencia, ver los tres primeros párrafos de mi respuesta a esta pregunta.