Demostrar que $F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}$

Question

Demostrar que $F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}$

Esta identidad tiene por $n>=1$

En lugar de utilizar la inducción, ¿cómo puedo demostrar que en una geometría enfoque?

Answer 1

Primero, cree un rectángulo con la longitud de la $F_{2n+1}$ y la altura de la $F_1 = 1$. A continuación, se cortan en dos rectángulos con los tamaños de las $F_{2n} \times F_2$ ( $F_{2n} \times 1$ ) y $F_{2n-1} \times F_1$ ( $F_{2n-1} \times 1$ ). Poner el último en virtud de los anteriores.

A continuación, corte la figura resultante en rectángulos con los tamaños de las $F_{2n-1} \times F_3$$F_{2n-2} \times F_2$. De nuevo, se puso la última en virtud de los anteriores.

Ahora corte la figura resultante en rectángulos $F_{2n-2} \times F_4$ $F_{2n-3} \times F_3$ y poner el segundo en el antiguo.

Finalmente, después de $n-1$ pasos obtendrá una figura construida a partir de dos plazas con tamaños de $F_{n+1}^2$$F_n^2$.

Ver a continuación en la figura para ver un ejemplo con $n=6$, es decir,$F_{2n+1} = F_{13} = 233$. La primera línea es el $F_{13} \times F_1$ rectángulo. Después de $n-1=5$ pasos que va a llegar a una cifra que puede ser dividida en $F_7^2$ $F_6^2$ como se desee.