Cómo mostrar que, por ejemplo, $\cos(z)$ es analítica uso de Cauchy - Riemann ecuaciones diferenciales?

Question

Cómo mostrar que, por ejemplo, $\cos(z)$ es analítica uso de Cauchy-Riemann ecuaciones diferenciales [ $u_x(x,y)=v_y(x,y)$ $u_y(x,y)=-v_x(x,y)$ ]? Hacer todas las funciones analíticas satisfacer de Cauchy-Riemann ecuaciones diferenciales (CRDE)? ¿Cuál es la relación entre la analiticidad de las funciones complejas y de Cauchy-Riemann ecuaciones diferenciales? Sé que holomorphic (analítica?) funciones satisfacen CRDE, pero son las funciones que cumplen CRDE siempre analítica (holomorphic)?

Answer 1

Empezar por volver a escribir: si $z$ es complejo, entonces vamos a $z=x+iy$. Luego tenemos la función $\cos(x+iy)$. Ahora usted puede ampliar con la regla de $\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$. (Porque vas a quedar con los bits, como por ejemplo,$\cos(iy)$, te lo desea, puede reemplazar con funciones hiperbólicas con, por ejemplo, $\cos(ip)=\cosh(p)$ y una relación similar para $\sin$.) Te quedará una función complicada de la cual vamos a llamar a $u+vi$ - es decir, vamos a $u$ ser la parte real y $v$ la parte imaginaria. Es estos $u$ $v$ se están diferenciando en el Cauchy-Riemann ecuaciones.

Answer 2

Escrito $$z=x+iy\,\,,\,\,x,y\in\Bbb R\Longrightarrow \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\frac{\cos x(e^y+e^{-y})-i\sin x(e^y-e^{-y})}{2}=$$ $$\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y=u+iv$$

Y ahora usted puede comprobar el Cauchy-Riemann ecuaciones directamente, por ejemplo: $$u_x=-\sin x\cosh y=v_y\,\,,\,etc.$$

Answer 3

Voy a abordar sus preguntas más generales primera. Me estoy limitando a discusión para funciones complejas de una variable compleja, por supuesto.

Holomorphic y funciones analíticas son la misma cosa. Una prueba plena se da en el análisis complejo libro, pero voy a dar el contorno. Asumir todas las funciones están definidas en un abrir conectado dominio. Funciones de llamada con poder serie de expansiones en cada punto de su dominio de la analítica, y llamar a las funciones que el complejo-diferentiable holomorphic. Si una función es analítica, se puede expandir como una potencia de la serie en cada punto, y la teoría elemental de potencia de la serie se muestra que son complejas-diferenciable, por lo que todas las funciones analíticas son holomorphic. Para mostrar todos los holomorphic funciones analíticas, uno usa un resultado llamado de Cauchy de la Integral Teorema explícitamente producir la potencia necesaria de la serie de expansiones en cada punto.

Es fácil demostrar (véase cualquier libro) que todos los holomorphic (complejo diferenciable) funciones satisfacen la C-R ecuaciones, incluso sin mostrar que holomorphic y analítica de las funciones son las mismas. Sin embargo, no todas las funciones de la satisfacción de las Cauchy-Riemann ecuaciones analíticas (holomorphic). El estándar de la condición adicional es que pedimos es que la función continua primeras derivadas parciales (cuando se la considera como una función de $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ ) en adición a la satisfacción de la C-R ecuaciones.

Ahora, mostrando el $\cos(z)$ es analítica, es necesario conocer cómo se define. Me gusta la definen en términos de exponenciales o de alimentación de la serie, y en cualquier caso, analiticidad es trivial. Sin embargo, si se restringe al hecho de que $\cos(z)$ es sólo una función que satisface el estándar trigonométricas propiedades, a continuación, me gustaría ir con el enfoque de Erik Pan, también publicado en la sección de respuestas. Brevemente: la reescritura de $\cos(x+iy)$ utilizando el coseno además de la fórmula, vuelva a escribir el resultado como $u+iv$ el uso de las funciones hiperbólicas, donde $u$ $v$ es un valor real, y, a continuación, compruebe el C-R ecuaciones mediante la diferenciación directamente. Recuerde verificar que las primeras derivadas parciales son continuas.

Suena como que usted se beneficiaría enormemente de un buen análisis complejo libro. Un tratamiento rápido (que cubre a sus preguntas con mayor detalle que en esta respuesta) está disponible de forma gratuita aquí.

Answer 4

Si $f(z)$ es un complejo de valores de la función, se puede escribir como $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ donde $u$ $v$ son reales-valores de funciones.

Como usted dijo, si $f$ es holomorphic, luego la de Cauchy-Riemann ecuaciones ( $u_x = v_y$ $u_y = -v_x$ ) están satisfechos. Sin embargo, el recíproco no es cierto. Por ejemplo, si dejamos $f(x+iy) = \sqrt{|xy|}$, $f$ satisface la de Cauchy-Riemann ecuaciones en $x=y=0$ pero no es holomorphic allí.

Por lo tanto, habiendo $u_x = v_y$ $u_y = -v_x$ en algún punto de $z$ no es suficiente para concluir que $f$ es holomorphic allí. Sin embargo, si añadimos que $u$ $v$ tienen derivadas parciales continuas en $z$, entonces podemos concluir que $f$ es holomorphic en $z$. (Como alternativa, podríamos añadir que la asignación de $(x,y) \mapsto (u(x,y), v(x,y))$ es diferenciable en $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ función a la conclusión de que la $f$ es holomorphic en $x+iy$. Este es un resultado más fuerte.)

En el caso de $f(z) = \cos z$,$u(x,y) = \cos x\cosh y$$v(x,y) = -\sin x\sinh y$. Podemos comprobar que el Cauchy Riemann ecuaciones mantenga en todas partes, y además, que todos los cuatro derivadas parciales son continuas en todas partes. Esto es suficiente para concluir que $f$ es holomorphic.